Rozmaitość różniczkowa (w
), czasem: rozmaitość różniczkowa zanurzona w
– podzbiór
który lokalnie, tzn. w otoczeniu każdego punktu, wygląda jak
(mówiąc ściślej: jak zbiór otwarty w
) dla pewnego
ponadto nie ma „kantów”. Liczba
jest taka sama dla każdego punktu rozmaitości i nazywa się ją wymiarem rozmaitości różniczkowej. Rozmaitości różniczkowe (zanurzone w
) stanowią uogólnienie zbiorów otwartych, krzywych i powierzchni w
Pojawiają się w sposób naturalny w wielu zagadnieniach matematyki czystej. Np. metoda mnożników Lagrange’a matematycznie sprowadza się do szukania ekstremum pewnej funkcji zdefiniowanej na rozmaitości różniczkowej.
Dla funkcji pomiędzy rozmaitościami możliwe jest zdefiniowanie różniczkowalności i pochodnej. Dzięki temu możliwe jest uprawianie rachunku różniczkowego na rozmaitościach. Poprzez wprowadzeniu tzw. form różniczkowych możliwe jest także uprawianie rachunku całkowego na rozmaitościach.
Rozmaitości różniczkowe zanurzone w
są wystarczające na potrzeby wielu zagadnień matematyki, nie są jednak wystarczające na potrzeby nowoczesnej fizyki. Z tego powodu wprowadza się ogólne, abstrakcyjne rozmaitości różniczkowe, które niekoniecznie muszą być podzbiorami
i mogą mieć znacznie bardziej złożoną naturę.
Definicja
Podzbiór
nazywa się
-wymiarową rozmaitością różniczkową (w
), jeżeli dla każdego
istnieje zbiór otwarty
zawierający
zbiór otwarty
oraz funkcja różnowartościowa i klasy
taka, że
(1)
(2) Pochodna
ma rząd
dla każdego
(3) Funkcja
jest ciągła[1].
Współrzędne, mapy i atlasy
Funkcję
z definicji rozmaitości różniczkowej nazywa się parametryzacją w otoczeniu punktu
Funkcję do niej odwrotną
nazywa się układem współrzędnych w otoczeniu punktu
[2]. Parę
nazywa się mapą w otoczeniu punktu
Zbiór
nazywa się dziedziną mapy
Mapy oznacza się zwykle
itd.
Na
-wymiarowej rozmaitości różniczkowej funkcje
gdzie
oznacza rzutowanie na
-tą współrzędną względem bazy standardowej
tzn. funkcję daną wzorem
![{\displaystyle \pi ^{i}(x_{1},\dots ,x_{k}):=x_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f623e19457bbf551fa559cfb04b23f168e6e268b)
nazywa się współrzędnymi wyznaczonymi przez mapę
Zbiór map
których dziedziny pokrywają całe
nazywa się atlasem.
Mając dwie mapy
można jedne współrzędne przeliczać na drugie za pomocą odwzorowań zamiany współrzędnych
i
Przestrzeń styczna do rozmaitości
Definicja
Przestrzenią styczną do
-wymiarowej rozmaitości różniczkowej
w
w punkcie
nazywa się obraz
przez pochodną parametryzacji
gdzie
Ponieważ pochodna
ma rząd
to przestrzeń styczna
jest
-wymiarową podprzestrzenią liniową
Baza naturalna dla mapy
Mapa
w otoczeniu punktu
na
-wymiarowej rozmaitości różniczkowej indukuje bazę przestrzeni stycznej
daną wzorami
![{\displaystyle \partial _{i}:=d\varphi ^{-1}(a)(e_{i}),\quad i=1,\dots ,k,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eca82765c9fb8b1ad6e405cbac880d183d7fc80)
gdzie
a
oznacza bazę standardową
Nazywa się ją bazą naturalną dla mapy
Wektory tej bazy oznacza się także
lub podobnie.
Odwzorowanie styczne
Przestrzeń styczna do rozmaitości pozwala uogólnić pojęcie pochodnej funkcji
na przypadek funkcji pomiędzy rozmaitościami. Niech
będą rozmaitościami różniczkowymi. Rozpatrzmy funkcję
Gdyby
były zwykłymi, dowolnymi zbiorami, to niemożliwe byłoby różniczkowanie
nawet pomimo że
to podzbiory
ponieważ pochodna jest zawsze zdefiniowana dla funkcji zdefiniowanej na zbiorze otwartym. Jednakże, ponieważ
są rozmaitościami różniczkowymi i mają dodatkową strukturę, to można uogólnić pojęcie pochodnej funkcji
na przypadek funkcji pomiędzy
i
Definicja
Niech
będą
i
-wymiarowymi rozmaitościami różniczkowymi, a
– mapami na nich. Powiemy, że funkcja
jest różniczkowalna klasy
jeżeli
jest różniczkowalne klasy
Odwzorowaniem stycznym funkcji
w punkcie
nazywamy odwzorowanie
dane wzorem
![{\displaystyle T_{p}f(v):=d\varphi _{2}^{-1}(\varphi _{2}(f(p)))\circ d(\varphi _{2}\circ f\circ \varphi _{1}^{-1})(\varphi _{1}(p))(w),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f1b07d1e61761be43bec89fe059cb1f11f36687)
gdzie
jest takim wektorem, że
![{\displaystyle d\varphi _{1}^{-1}(\varphi _{1}(p))(w)=v.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f5e94b9544e2ff6efc29a8f9df154ba0599864d)
Uwagi
(1) Odwzorowanie styczne funkcji
w punkcie
nazywa się też pochodną funkcji
w punkcie
albo różniczką funkcji
w punkcie
i oznacza
lub podobnie.
(2)
jest już funkcją z
w
może więc być różniczkowane w zwykły sposób.
(3)
jest wektorem w
Przekształcenie liniowe
przenosi ten wektor w
(4) W szczególnym przypadku gdy
są zbiorami otwartymi, to posługując się mapami
powracamy do zwykłej definicji pochodnej.
(5) Odwzorowanie styczne spełnia regułę łańcuchową. Jeżeli
jest różniczkowalne w punkcie
a
jest różniczkowalne w punkcie
to różniczkowalne jest złożenie
i
![{\displaystyle T_{p}(g\circ f)=T_{f(p)}g\circ T_{p}f..}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/861f1670e1d0c0b8abacc1d2c1c43ae6bbf56bd4)
(6) Jeżeli
jest różniczkowalne, to licząc odwzorowanie styczne dostajemy
![{\displaystyle T_{p}f(v)=T_{p}f\left(\sum _{j=1}^{k}v_{j}\partial _{j}\right)=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial (f\circ \varphi ^{-1})}{\partial x_{i}}}(\varphi (p))v_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e611b814d696a408582022eded46e1e42e5ed373)
(7) W szczególności dla współrzędnych wyznaczonych przez mapę
dostajemy
![{\displaystyle T_{p}x^{i}(v)=T_{p}x^{i}\left(\sum _{j=1}^{k}v_{j}\partial _{j}\right)=v_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ffe7f2a88ab9fd22b997860c81a19857ddce14d)
Wynika z tego, że odwzorowania styczne
stanowią bazę dualną do bazy naturalnej dla mapy
W bazie tej możemy odwzorowanie styczne funkcji
zapisać
![{\displaystyle T_{p}f=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial (f\circ \varphi ^{-1})}{\partial x_{i}}}(\varphi (p))T_{p}x^{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95c2ebcfda5144ddbfaa8dc8ac5dddab0d8ce199)
(8) Powyższy wzór zapisuje się zwykle w następującej postaci, ponieważ pozwala to nadać wielu klasycznym wzorom klasyczny wygląd
![{\displaystyle df(p)=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial (f\circ \varphi ^{-1})}{\partial x_{i}}}(\varphi (p))dx^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9122a1f9ab24d6ff40a32f69791f9a4f9ed5abd7)
(Dla uproszczenia piszemy
zamiast
).
Pola tensorowe na rozmaitości
Pole tensorowe na rozmaitości różniczkowej
to funkcja
taka, że
dla każdego
gdzie
oznacza przestrzeń liniową tensorów typu
Innymi słowy pole tensorowe to funkcja, którą punktom z rozmaitości przypisuje tensor na przestrzeni stycznej do rozmaitości w tym punkcie.
Szczególne znaczenie mają antysymetryczne kowariantne pola tensorowe, czyli formy różniczkowe, ponieważ to jedyne pola tensorowe, które można całkować.
Orientowalność i orientacja rozmaitości
Mówimy, że dyfeomorfizm
zbiorów otwartych w
zachowuje orientację jeżeli
![{\displaystyle \det[d\Phi (x)]>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/709041a5dfb385669312aa3b75c963d2998dc625)
dla każdego
i że zmienia orientację na przeciwną jeżeli
![{\displaystyle \det[d\Phi (x)]<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/842e22466245516022d5f27bc35b09326db8cd57)
dla każdego
Powiemy, że atlas
jest zorientowany jeżeli dla dowolnych dwóch map
należących do atlasu
odwzorowanie zamiany współrzędnych
zachowuje orientację.
Rozmaitość różniczkową
nazywamy orientowalną jeżeli istnieje na niej atlas zorientowany.
Mówimy, że dwa atlasy
na
są zgodnie zorientowane jeżeli ich suma
jest atlasem zorientowanym. Relacja zgodnego zorientowana jest relacją równoważności w rodzinie atlasów na
i w związku z tym wyznacza podział atlasów na klasy abstrakcji. Te klasy abstrakcji nazywa się orientacjami rozmaitości
Parę: rozmaitość różniczkową
wraz z orientacją nazywa się rozmaitością różniczkową zorientowaną.
Rozmaitości różniczkowe z brzegiem w
Definicja
Jeżeli w definicji rozmaitości różniczkowej zbiór otwarty
w
zastąpi się zbiorem otwartym
w
to otrzyma się tzw. rozmaitość różniczkową z brzegiem (w
).
Uwagi
Rozmaitości różniczkowe z brzegiem są nieznacznym uogólnieniem rozmaitości różniczkowych. Są potrzebne po to, żeby dało się sformułować Ogólne twierdzenie Stokesa.
Brzeg rozmaitości różniczkowej
Brzegiem
-wymiarowej rozmaitości różniczkowej z brzegiem
nazywa się zbiór tych punktów
że dla pewnej parametryzacji
w otoczeniu
![{\displaystyle \varphi ^{-1}(p)=(0,x_{2},\dots ,x_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48091359a94c6ee2e15bff417260bb172b4954ea)
Brzeg oznacza się
W definicji brzegu wykorzystuje się pewną parametryzację, ale definicja jest niezależna od przyjętej parametryzacji. Niepusty brzeg
-wymiarowej rozmaitości różniczkowej z brzegiem
jest rozmaitością różniczkową
-wymiarową.
Orientacja brzegu
Orientacja rozmaitości
zadana przez atlas
indukuje orientację brzegu
zadaną przez atlas[3]
![{\displaystyle A_{0}:=\{(U_{i}\cap \partial M,\varphi _{i}|_{U_{i}\cap \partial M});\ U_{i}\cap \partial M\neq \emptyset ,\ i\in I\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a280df7b1cd7c67569fcc274ceb2e0450a961fc2)
Ogólne rozmaitości różniczkowe
Rozmaitości różniczkowe (zanurzone) w
są wystarczające na potrzeby wielu działów matematyki: analizy matematycznej, teorii optymalizacji, różniczkowych równań cząstkowych, nie są jednak wystarczające na potrzeby nowoczesnej fizyki. W fizyce rozmaitość różniczkowa modeluje czasoprzestrzeń jednakże użycie rozmaitości różniczkowych (zanurzonych) w
dla
rodziłoby wiele pytań:
(a) Dlaczego nie obserwujemy dodatkowych wymiarów?
(b) Jak wykryć dodatkowe wymiary?
(c) Ile wynosi
?
Itd. Z tego powodu rozmaitości różniczkowe (zanurzone) w
trzeba uogólnić na potrzeby fizyki. Robi się to „wymazując” odwołanie do
w definicji rozmaitości różniczkowej. Rozmaitość różniczkową definiuje się jako po prostu przestrzeń Hausdorffa (niekoniecznie podzbiór
) wraz ze zbiorem map na rozmaitości, czyli atlasem.
Takie ogólne rozmaitości mogą mieć znacznie bardziej skomplikowaną naturę. Poprzednie definicje przestrzeni stycznej i pochodnej funkcji
tracą sens. Teraz przestrzeń styczną
w punkcie
definiuje się jako zbiór krzywych przechodzących przez punkt
tzn. funkcji postaci
takich, że
przy czym utożsamia się ze sobą krzywe, które po przeniesieniu do
za pomocą układu współrzędnych
mają równy wektor styczny w zerze, tzn. dla których[4]
![{\displaystyle \left.{\frac {d}{dt}}(\varphi \circ \gamma _{1})\right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{dt}}(\varphi \circ \gamma _{2})\right|_{t=0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/189969fb3737fc2a83d645e6ab89ce3c15924da3)
Mówiąc ściślej wektory styczne definiuje się jako klasy abstrakcji względem relacji równoważności
zdefiniowanej powyższą równością. Ta relacja równoważności nie zależy od wyboru układu współrzędnych
Funkcja
dana wzorem
![{\displaystyle \Theta _{\varphi }([\gamma ]_{\sim }):=\left.{\frac {d}{dt}}(\varphi \circ \gamma )\right|_{t=0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27fe3b3ed5cb798189e750b889bb64be9acd2dcf)
jest bijekcją i pozwala przenieść strukturę przestrzeni liniowej z
do
tzn. dodawanie i mnożenie przez skalar wektorów stycznych definiuje się
![{\displaystyle [\gamma _{1}]_{\sim }+[\gamma _{2}]_{\sim }:=\Theta _{\varphi }^{-1}(\Theta _{\varphi }([\gamma _{1}]_{\sim })+\Theta _{\varphi }([\gamma _{2}]_{\sim }))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb43568939e40f01ca46e7297cc165627d44f9a8)
![{\displaystyle \alpha \cdot [\gamma ]_{\sim }:=\Theta _{\varphi }^{-1}(\alpha \cdot \Theta _{\varphi }([\gamma ]_{\sim }))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/860456c30d9c9a71f12d2a16416a2be556994da5)
Za pomocą
można także zdefiniować pochodną funkcji postaci
tzn. funkcji pomiędzy rozmaitościami.
Mimo różnic idea w przypadku ogólnych rozmaitości różniczkowych pozostaje taka sama.
Przykłady
(1) Zbiór otwarty
w
jest trywialnym przykładem
-wymiarowej rozmaitości różniczkowej. W jego przypadku wystarczy atlas złożony tylko z jednej mapy
gdzie
jest identycznością na
czyli funkcją
daną wzorem
![{\displaystyle \mathrm {id} _{U}(x):=x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f9241684c33153b450d0a22ebda95e4ba97dc9)
W szczególności
jest
-wymiarową rozmaitością różniczkową.
(2) Niech
będzie zbiorem otwartym. Wykres funkcji
tzn. zbiór
![{\displaystyle \mathrm {graf} f:=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{n+m};\ y=f(x)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9772827184b06f44855e488cc687f4f1b558cf3)
jest dosyć trywialną
-wymiarową rozmaitością różniczkową w
o ile funkcja
jest klasy
W jej wypadku wystarczy atlas złożony tylko z jednej mapy
gdzie
jest dane wzorem
![{\displaystyle \varphi (x,y):=x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7219502c684e8c0ac1f5dbc40ad83f99f764e8f0)
(3) Najprostszą nietrywialną rozmaitością różniczkową jest okrąg jednostkowy
W tym wypadku potrzebne są już co najmniej dwie parametryzacje i dwa układy współrzędnych. Pierwszą parametryzację można zdefiniować jako
![{\displaystyle \varphi _{1}^{-1}(\phi ):=(\cos \phi ,\sin \phi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94f99c76c70f027e9829968a49c8ce45912a82d3)
Parametr
jest kątem mierzonym od osi
przy czym punktom poniżej osi
przypisujemy ujemny kąt. Ta parametryzacja wystarcza do sparametryzowania całego
z wyjątkiem punktu
W jego okolicach potrzebna jest jakaś inna parametryzacja.
Układ współrzędnych
jest dany wzorem
![{\displaystyle \varphi _{1}(x,y)={\begin{cases}\operatorname {arctg} \left({\frac {y}{x}}\right)&{\text{w prawej połowie okręgu,}}\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{gdy }}(x,y)=(0,1),\\\pi +\operatorname {arctg} \left({\frac {y}{x}}\right)&{\text{w górnej lewej ćwiartce}},\\-{\frac {\pi }{2}},&{\text{gdy }}(x,y)=(0,-1),\\\operatorname {arctg} \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\text{w dolnej lewej ćwiartce.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f6306dd0e51a760d2b79ce8607df667a9724951)
Powyższy układ współrzędnych nie pokrywa punktu
W jego otoczeniu trzeba wybrać inną parametryzację i układ współrzędnych. Np.
dane wzorem
![{\displaystyle \varphi _{2}^{-1}(\phi ):=(-\cos \phi ,\sin \phi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dab631d533b707dc56ca5fd1b03c4582672c3dc)
oraz
dane wzorem
![{\displaystyle \varphi _{2}(x,y)=-\operatorname {arctg} \left({\frac {y}{x}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2374f59e4c8de5ad756f0fce68d9c4f876570cde)
(4) Niepusty przedział
jako zbiór otwarty w
jest rozmaitością różniczkową. Można zadać pytanie czy przedział
jest także rozmaitością różniczkową. Odpowiedź jest przecząca. Przedziału
w okolicach punktów
i
nie da się sparametryzować, tzn. dla punktów
i
nie da się znaleźć zbiorów otwartych
i funkcji
z definicji rozmaitości różniczkowej, które by ją spełniały. Jednakże przedział
jest rozmaitością różniczkową z brzegiem równym
Przypisy
- ↑ M.M. Spivak M.M., Analiza matematyczna na rozmaitościach . Brak numerów stron w książce
- ↑ M. Spivak zamienia ze sobą te nazwy.
- ↑ J.J. Musielak J.J., L.L. Skrzypczak L.L., Analiza matematyczna. Tom III. Część 2. Brak numerów stron w książce
- ↑ W.W. Wojtyński W.W., Grupy i algebry Liego . Brak numerów stron w książce
Bibliografia
- M. Spivak: Analiza na rozmaitościach. Brak numerów stron w książce
- J. Musielak, L. Skrzypczak: Analiza matematyczna. Tom III. Część 2.. Brak numerów stron w książce
- W. Wojtyński: Grupy i algebry Liego. Brak numerów stron w książce
- LCCN: sh85037884
- NDL: 00560654
- BnF: 119667819
- BNCF: 31544
- NKC: ph169355
- J9U: 987007553020905171