Potęga punktu

Potęga punktu ${\displaystyle A}$ względem okręgu ${\displaystyle o}$ – liczba równa ${\displaystyle P(A,o)=|AO|^{2}-r^{2},}$ gdzie ${\displaystyle O}$ jest środkiem okręgu ${\displaystyle o,}$ ${\displaystyle r}$ jego promienieniem^[1][2]. Z definicji wynika, że

• ${\displaystyle P(A,o)>0}$ dla punktu leżącego na zewnątrz okręgu. ${\displaystyle P(A,o)}$ jest wtedy równe kwadratowi długości stycznej poprowadzonej z punktu ${\displaystyle A}$ do okręgu ${\displaystyle o}$ (rys. 1).
• ${\displaystyle P(A,o)<0}$ dla punktu leżącego wewnątrz okręgu. ${\displaystyle P(A,o)}$ jest liczbą przeciwną do kwadratu połowy najkrótszej cięciwy okręgu ${\displaystyle o}$ przechodzącej przez punkt ${\displaystyle A}$ (rys. 2).
• ${\displaystyle P(A,o)=0}$ dla punktów ${\displaystyle A}$ leżących na okręgu.

Punkty o stałej potędze względem danego okręgu leżą na jednym okręgu.

Twierdzenie. Niech będzie dany punkt A.
Jeśli punkty ${\displaystyle B,C}$ będą punktami przecięcia dowolnej prostej ${\displaystyle k}$ przechodzącej przez punkt ${\displaystyle A}$ z okręgiem ${\displaystyle o,}$ to

• ${\displaystyle P(A,o)=|AB|\cdot |AC|,}$ jeśli A leży na zewnątrz okręgu,
• ${\displaystyle P(A,o)=-|AB|\cdot |AC|,}$ jeśli A leży wewnątrz okręgu.

Jeśli punkt ${\displaystyle D}$ jest punktem styczności prostej ${\displaystyle k}$ z okręgiem, to

• ${\displaystyle P(A,o)=|AD|^{2}}$^[3].

Dowód. Zgodnie z twierdzeniem o siecznych iloczyn ${\displaystyle |AB|\cdot |AC|}$ jest taki sam niezależnie od wyboru cięciwy wyznaczonej przez ${\displaystyle k.}$ Jeśli jedną z tych cięciw będzie średnica okręgu, to zajdzie równość ${\displaystyle |AB|\cdot |AC|=(|AO|-r)\cdot (|AO|+r)=|AO|^{2}-r^{2}.}$ Stąd teza.

W przypadku punktu leżącego wewnątrz okręgu dowód jest analogiczny.

Przypisy