Otoczenie i sąsiedztwo

Otoczenie – wieloznaczne pojęcie matematyczne, różnie definiowane w analizie i topologii. W każdym wypadku jest to pewien typ zbioru zawierającego dany punkt lub ustalony zbiór. Czasem wymaga się, by otoczenie było zbiorem otwartym[1].

Blisko powiązanym pojęciem jest sąsiedztwo punktu – otoczenie punktu z wyłączeniem jego samego[2]. Jeśli U x {\displaystyle U_{x}} jest otoczeniem punktu x , {\displaystyle x,} to jego sąsiedztwem nazywa się różnicę zbiorów[2][3]:

S x := U x ∖ { x } . {\displaystyle S_{x}:=U_{x}\setminus \{x\}.}

Za pomocą otoczeń i sąsiedztw definiuje się inne pojęcia matematyczne, np. część przedmiotów analizy jak ekstremum funkcji[4] i granice funkcji w punkcie[5][3].

Otoczenia i sąsiedztwa liczb rzeczywistych

Pokazany przedział na osi rzeczywistej to otoczenie otwarte punktu a {\displaystyle a} z promieniem ε {\displaystyle \varepsilon } (epsilon).

Na prostej rzeczywistej R {\displaystyle \mathbb {R} } otoczenie punktu x 0 {\displaystyle x_{0}} definiuje się jako pewien typ przedziału otwartego; dokładne znaczenie zależy od kontekstu:

  • otoczenie w sensie wąskim (sensu stricto) to każdy przedział otwarty złożony ze wszystkich liczb odległych od x 0 {\displaystyle x_{0}} o mniej niż ustalona wartość, zwana promieniem otoczenia[2]:
U ( x 0 , ε ) := { x ∈ R : | x − x 0 | < ε } = = ( x 0 − ε ; x 0 + ε ) . {\displaystyle {\begin{aligned}U(x_{0},\varepsilon )&:=\{x\in \mathbb {R} :|x-x_{0}|<\varepsilon \}=\\&=(x_{0}-\varepsilon ;x_{0}+\varepsilon ).\end{aligned}}}
  • otoczenie w sensie szerokim (sensu largo) to dowolny przedział otwarty zawierający punkt x 0 {\displaystyle x_{0}} [1][3]; punkt ten nie musi być pośrodku tego przedziału, a przedział nie musi być ograniczony – może nim być cała oś rzeczywista[2]:
U x = ( a ; b ) = { x : a < x < b } . {\displaystyle U_{x}=(a;b)=\{x:a<x<b\}.}

Oprócz tego dla każdego punktu x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } definiuje się[2][6]:

  • sąsiedztwo, czyli różnicę odpowiedniego przedziału i tego punktu, tj. sumę mnogościową przedziałów: S x = ( a ; b ) ∖ { x } = ( a ; x ) ∪ ( x ; b ) ; {\displaystyle S_{x}=(a;b)\setminus \{x\}=(a;x)\cup (x;b);}
  • sąsiedztwo lewostronne, czyli przedział otwarty, którego prawym końcem (kresem górnym) jest ten punkt: S x − = ( a ; x ) ; {\displaystyle S_{x}^{-}=(a;x);}
  • sąsiedztwo prawostronne, czyli przedział otwarty, którego lewym końcem (kresem dolnym) jest ten punkt: S x + = ( x ; a ) . {\displaystyle S_{x}^{+}=(x;a).}

Za pomocą sąsiedztw jednostronnych definiuje się granice jednostronne funkcji w punkcie[6].

Otoczenia w przestrzeniach metrycznych

Zbiór V {\displaystyle V} na płaszczyźnie jest otoczeniem punktu p {\displaystyle p} jeżeli istnieje koło bez brzegu (czyli otwarta kula w przestrzeni dwuwymiarowej) zawierające p {\displaystyle p} i zawarte w V . {\displaystyle V.}

W przestrzeni metrycznej X {\displaystyle X} z metryką d {\displaystyle d} otoczenie punktu można określić za pomocą kul otwartych.

Otoczenia punktu

V {\displaystyle V} jest otoczeniem punktu p {\displaystyle p} jeśli istnieje kula otwarta o środku w punkcie p {\displaystyle p} i promieniu r > 0 , {\displaystyle r>0,} tj.

B r ( p ) = { x ∈ X : d ( x , p ) < r } , {\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X\colon d(x,p)<r\},}

która jest zawarta w zbiorze V . {\displaystyle V.}

Przykłady otoczeń otwartych

  • Na płaszczyźnie euklidesowej R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} otoczeniem otwartym punktu x {\displaystyle x} jest np. dowolne koło bez brzegu zawierające ten punkt (niekoniecznie umieszczony w środku koła), zaś jego sąsiedztwem jest to koło bez tego punktu.
  • W przestrzeni euklidesowej R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} otoczeniem otwartym punktu x {\displaystyle x} jest np. dowolna kula bez brzegu zawierająca ten punkt (niekoniecznie umieszczony w środku kuli), zaś jego sąsiedztwem jest kula bez tego punktu.

Otoczenia jednostajne zbioru

Zbiór S {\displaystyle S} na płaszczyźnie i jednostajne otoczenie V {\displaystyle V} zbioru S . {\displaystyle S.}

Otoczeniem jednostajnym zbioru S {\displaystyle S} w przestrzeni metrycznej nazwiemy zbiór V {\displaystyle V} o tej własności, że istnieje taka liczba r > 0 , {\displaystyle r>0,} że dla każdego p ∈ S {\displaystyle p\in S} kula otwarta o środku w punkcie p {\displaystyle p} i promieniu r , {\displaystyle r,} tj.

B r ( p ) = { x ∈ X : d ( x , p ) < r } , {\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X\colon d(x,p)<r\},}

jest zawarta w zbiorze V . {\displaystyle V.}

Innymi słowy, zbiór V {\displaystyle V} jest sumą wszystkich kul o ustalonym promieniu i środkach w punktach zbioru S . {\displaystyle S.}

Otoczenia w przestrzeniach topologicznych

Otoczenia punktu

Niech x {\displaystyle x} będzie elementem przestrzeni topologicznej ( X , τ ) . {\displaystyle (X,\tau ).} Zbiór V ⊆ X {\displaystyle V\subseteq X} jest otoczeniem punktu x , {\displaystyle x,} gdy istnieje zbiór otwarty U ∈ τ , {\displaystyle U\in \tau ,} dla którego

x ∈ U ⊆ V . {\displaystyle x\in U\subseteq V.}

Innymi słowy, zbiór V {\displaystyle V} jest otoczeniem punktu x , {\displaystyle x,} jeśli x ∈ Int V , {\displaystyle x\in {\text{Int}}V,} gdzie Int V {\displaystyle {\text{Int}}V} oznacza wnętrze zbioru V {\displaystyle V} [7].

Uwaga 1: Otoczenie punktu nie musi być zbiorem otwartym – wystarczy, że zawiera zbiór otwarty zawierający dany punkt. W szczególności, otoczenie może być zbiorem domkniętym, zwartym itd. Otoczenia takie nazywamy odpowiednio otoczeniem otwartym, domkniętym, zwartym itp.

Uwaga 2: Należy zwracać uwagę na konwencje stosowane przez różnych autorów. Niektórzy z nich za otoczenia punktu przyjmują wyłącznie zbiory otwarte zawierające dany punkt[1][8]. W stosowanej tu terminologii otoczenia takie nazywamy otoczeniami otwartymi.

Otoczenia zbioru

Niech S {\displaystyle S} jest podzbiorem X . {\displaystyle X.} Otoczeniem zbioru S {\displaystyle S} jest zbiór zawierający zbiór otwarty, który zawiera S . {\displaystyle S.} W szczególności, otoczenie zbioru jest otoczeniem każdego punktu tego zbioru

Inaczej mówiąc suma otoczeń wszystkich punktów zbioru jest jego otoczeniem.

System otoczeń a topologia

Jeżeli dla każdego punktu x {\displaystyle x} zbioru X {\displaystyle X} dana jest pewna rodzina B ( x ) {\displaystyle B(x)} podzbiorów U {\displaystyle U} zbioru X {\displaystyle X} spełniająca warunki:

  1. dla każdego U ∈ B ( x ) {\displaystyle U\in B(x)} mamy, że x ∈ U , {\displaystyle x\in U,}
  2. dla dowolnego U ∈ B ( x ) {\displaystyle U\in B(x)} istnieje takie V ∈ B ( x ) , {\displaystyle V\in B(x),} że U ∈ B ( y ) {\displaystyle U\in B(y)} dla wszelkich y ∈ V , {\displaystyle y\in V,}

to fakt ten można wykorzystać do określenia topologii w zbiorze X : {\displaystyle X{:}} zbiór otwarty definiuje się jako zbiór, który wraz z każdym swoim punktem x {\displaystyle x} zawiera również pewien zbiór z rodziny B ( x ) . {\displaystyle B(x).}

Otoczenie jako pojęcie pierwotne aksjomatyki

Pierwsza aksjomatyka przestrzeni topologicznej, podana przez Hausdorffa, była oparta na pojęciu otoczenia.

Definicja. Przestrzenią topologiczną nazywamy parę ( X , τ ) {\displaystyle (X,\tau )} złożoną ze zbioru X {\displaystyle X} oraz rodziny

τ = { τ x } x ∈ X {\displaystyle \tau =\{\tau _{x}\}_{x\in X}}

zbiorów τ x , {\displaystyle \tau _{x},} których elementami są podzbiory (zwane otoczeniami elementu x {\displaystyle x} ) zbioru X {\displaystyle X} spełniające następujące aksjomaty:

  1. Każde otoczenie x {\displaystyle x} zawiera x {\displaystyle x} oraz zbiór X {\displaystyle X} jest otoczeniem każdego swojego punktu.
  2. Każdy zbiór zawierający jakieś otoczenie x {\displaystyle x} jest także otoczeniem x . {\displaystyle x.}
  3. Przecięcie dowolnej pary otoczeń x {\displaystyle x} jest także otoczeniem x . {\displaystyle x.}
  4. W każdym otoczeniu x {\displaystyle x} zawarte jest takie otoczenie x , {\displaystyle x,} które jest zarazem otoczeniem każdego swojego punktu[9].

Zobacz też

Przypisy

  1. ↑ a b c otoczenie, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2022-10-04] .
  2. ↑ a b c d e publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Mariusz Doliński, Co to jest otoczenie punktu na prostej?, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-01-31].
  3. ↑ a b c publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Katarzyna Czyżewska, Definicja granicy funkcji w punkcie i w nieskończoności, serwis „Open AGH”, Akademia Górniczo-Hutnicza, pre-epodreczniki.open.agh.edu.pl, 29 czerwca 2022 [dostęp 2024-01-31].
  4. ↑ ekstremum funkcji, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2024-01-31] .
  5. ↑ publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Mariusz Doliński, Granica funkcji w punkcie według Cauchy'ego, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-01-31].
  6. ↑ a b publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Katarzyna Czyżewska, Granice jednostronne i WKW istnienia granicy funkcji, serwis „Open AGH”, Akademia Górniczo-Hutnicza, pre-epodreczniki.open.agh.edu.pl, 19 czerwca 2017 [dostęp 2024-02-01].
  7. ↑ Kuratowski 1962 ↓, s. 109.
  8. ↑ Kołodziej 2009 ↓, s. 73.
  9. ↑ Jänich 1991 ↓, s. 14–15.

Bibliografia

Linki zewnętrzne

  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Neighborhood, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-02-01].
  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Open Neighborhood, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-02-01].
  • publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Neighbourhood (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-01].