Odległość punktu od prostej

Ilustracja wyprowadzenia wyrażenia wektorowego

Odległość punktu (P) od prostej (k) jest to najmniejsza spośród odległości pomiędzy punktem P i punktami prostej k. Odległością tą jest długość odcinka prostej prostopadłej do k, którego końcami są punkt P i przecięcie z prostą k.

Płaszczyzna kartezjańska

Na płaszczyźnie z kartezjańskim układem współrzędnych: jeżeli punkt P ma współrzędne ( x P , y P ) , {\displaystyle (x_{P},y_{P}),} a prosta k dana jest równaniem ogólnym A x + B y + C = 0 , {\displaystyle Ax+By+C=0,} to odległość d ( P , k ) {\displaystyle d(P,k)} punktu P od prostej k wyrażona jest wzorem:

d ( P , k ) = | A x P + B y P + C | A 2 + B 2 . {\displaystyle d(P,k)={\frac {|A\,x_{P}+B\,y_{P}+C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.}

Prostą można ogólnie przedstawić wektorowo jako zbiór punktów

x → = a → + t n → , {\displaystyle {\vec {x}}={\vec {a}}+t{\vec {n}},}

gdzie wektor a jest ustalonym punktem prostej, zaś n jej wersorem (jednostkowym wektorem kierunkowym). Rzeczywisty parametr t określa odległość, o jaką punkt x jest przesunięty od a w kierunku n.

Odległość dowolnego punktu p od tej prostej wyraża się przez

‖ ( a → − p → ) − ( ( a → − p → ) ⋅ n → ) n → ‖ . {\displaystyle \|({\vec {a}}-{\vec {p}})-(({\vec {a}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {n}}){\vec {n}}\|.}

Wzór ten stosuje się w dowolnej liczbie wymiarów. Skonstruowany został geometrycznie następująco: a → − p → {\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {p}}} jest wektorem od danego punktu p do punktu a na prostej. Zatem ( a → − p → ) ⋅ n → {\displaystyle ({\vec {a}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {n}}} jest długością rzutu tego wektora na daną prostą (kropka reprezentuje tu iloczyn skalarny wektorów) i wobec tego

( ( a → − p → ) ⋅ n → ) n → {\displaystyle (({\vec {a}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {n}}){\vec {n}}}

jest wektorem – rzutem wektora a → − p → {\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {p}}} na prostą. Stąd wektor

( a → − p → ) − ( ( a → − p → ) ⋅ n → ) n → {\displaystyle ({\vec {a}}-{\vec {p}})-(({\vec {a}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {n}}){\vec {n}}}

jest składową wektora a → − p → {\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {p}}} prostopadłą do danej prostej, a jego norma szukaną odległością.

Linki zewnętrzne

  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Point-Line Distance--2-Dimensional, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-04-17].
  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Point-Line Distance--3-Dimensional, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-04-17].