Miara dodatnio określonych operatorów

Miara dodatnio określonych operatorów – miara wprowadzona w analizie funkcjonalnej i teorii pomiaru mechaniki kwantowej (z ang. positive-operator valued measure – POVM); jej wartościami są dodatnio określone operatory samosprzężone, działające na przestrzeni Hilberta; całka z tych operatorów jest operatorem identycznościowym.

Typowo proces pomiaru opisuje się w mechanice kwantowej za pomocą operatora rzutowego (ang. projection-valued measure – PVM) działającego na funkcję falową układu. Czasami jednak fizyczna przestrzeń Hilberta jest tak ograniczona, że nie da się przypisać operatora rzutowego do pomiarów – można jednak proces pomiaru opisać za pomocą mniej restrykcyjnej miary POVM, której operatory są „niepełnymi” operatorami rzutowymi, tj. o dziedzinie i zbiorze wartości ograniczonymi do dostępnej przestrzeni Hilberta. Za pomocą tej miary formułuje się więc najogólniejszą sytuację pomiarową. POVM używa się np. w informatyce kwantowej.

W grubej analogii, POVM ma się tak do PVM jak macierz gęstości do stanu czystego. Nawet jeśli cały układ jest w stanie czystym, to macierze gęstości są niezbędne do opisu stanu jego podukładu.

Analogicznie, jeżeli fizyczna przestrzeń Hilberta jest z jakiś względów ograniczona tak że jest podprzestrzenią przestrzeni, w której pomiar można opisać jako wynik operacji rzutowej POV, to pomiar na tej przestrzeni Hilberta opisuje miara POVM.

Historycznie, używano nazwy miara, której wartościami są operatory prawdopodobieństwa (ang. probability-operator measure – POM), ale jest teraz rzadko stosowana.

W kwantowej teorii pola pomiary rzutowe nie mają konkretnej definicji i prowadzą do wielu sprzeczności, można jednak wprowadzić ich generalizację^[1].

Przykłady konieczności użycia miary POVM

Fermion Diraca

Typowym przykładem jest pojedyncza cząstka Diraca, czyli fermion o spinie 1/2 opisywany równaniem Diraca (por. Dürr i inni (2004))^[2]: operator położenia działający na ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{3},\mathbb {C} ^{4})}$ indukuje naturalną miarę rzutową POV ${\displaystyle P_{0}(\cdot )}$ dla każdego zbioru mierzalnego (borelowskiego) ${\displaystyle B\subseteq \mathbb {R} ^{3},}$ ${\displaystyle P_{0}(B)}$ jest rzutem na przestrzeń funkcji, które zerują się na zewnątrz zbioru, ${\displaystyle P_{0}(B)\Psi (q)=\mathbf {1} _{B}(q)\Psi (q),}$ gdzie ${\displaystyle 1_{B}(q)}$ – indykator funkcji na zbiorze ${\displaystyle B.}$ W ten sposób otrzymuje się ${\displaystyle \langle \Psi |P_{0}(dq)|\Psi \rangle =|\Psi (q)|^{2}dq.}$

Jeżeli jednak jako fizyczną przestrzeń Hilberta przejmie się podprzestrzeń zawierającą tylko stany o dodatnich energiach, to prawdopodobieństwo znalezienia cząstki musi być zadane przez operator ${\displaystyle P(\cdot )=P_{+}P_{0}(\cdot )I,}$ gdzie ${\displaystyle P_{+}\colon L^{2}(\mathbb {R} ^{3},\mathbb {C} ^{4})\to \mathbb {H} }$ jest operatorem rzutowym, zaś ${\displaystyle I\colon \mathbb {H} \to L^{2}(\mathbb {R} ^{3},\mathbb {C} ^{4})}$ – odwzorowanie inkluzji.

Ponieważ ${\displaystyle P_{+}}$ nie komutuje z większością operatorów ${\displaystyle P_{0}(B),}$ to ${\displaystyle P(\cdot )}$ nie jest operatorem rzutowym, ale ogólniejszą miarą POVM i w konsekwencji nie ma odniesienia do żadnego operatora rzutowego. Jednakże pozostaje nadal słuszne dla funkcji ${\displaystyle \Psi }$ należącej do podprzestrzeni ${\displaystyle \mathbb {H} }$ z dodatnio określoną energią, że ${\displaystyle \langle \Psi |P(dq)|\Psi \rangle =|\Psi (q)|^{2}dq.}$

Z tego względu w kwantowej teorii pola obserwabla położenia jest częściej typu POVM niż POV.

Fotony

Miary typu POVM są np. istotne dla fotonów. W jednym z podejść funkcja falowa pojedynczego fotonu ${\displaystyle \Psi \colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} ^{3}}$ poddana jest warunkom ograniczającym

${\displaystyle \nabla \cdot \Psi =\partial _{x}\Psi _{x}+\partial _{y}\Psi _{y}+\partial _{z}\Psi _{z}=0.}$

Fizyczna przestrzeń Hilberta ${\displaystyle \mathbb {H} }$ fotonu zawiera więc tylko funkcje falowe, które spełniają to dodatkowe ograniczenie i z tej racji przestrzeń Hilberta fotonu jest podprzestrzenią ogólniejszej przestrzeni ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{3},\mathbb {C} ^{3})}$ w jakiej można przedstawiać stany pojedynczych cząstek o liczbie spinowej s=1, a naturalna miara rzutowa PVM na ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{3},\mathbb {C} ^{3})}$ przechodzi w POVM na ${\displaystyle \mathbb {H} .}$

Operatory POVM a operatory rzutowe

Z każdym wynikiem pomiaru jest związany pewien dodatnio określony samosprzężony operator ${\displaystyle F(z)}$ taki, że jeśli na układzie w stanie ${\displaystyle \Psi (|\Psi |=1)}$ jest wykonywany pomiar, to rozkład prawdopodobieństwa pomiaru ${\displaystyle Z}$ jest dany wyrażeniem

${\displaystyle P\Psi (Z=z)=\langle \Psi |F(z)|\Psi \rangle }$

dla każdego ${\displaystyle z.}$

Z takich operatorów pomiaru można utworzyć „observables”: operatory dają rozkłady prawdopodobieństw wielkości mierzonej ${\displaystyle Z}$ będące funkcją ${\displaystyle \Psi .}$ Operatory ${\displaystyle F(z)}$ zsumowane dają operator jednostkowy ${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle \sum F(z)=I.}$

Gdy ${\displaystyle z}$ są liczbami rzeczywistymi, a ${\displaystyle F(z)}$ są operatorami rzutowymi, to operator POVM ${\displaystyle F(\cdot )}$ może być wyrażony przez operator samosprzężony

${\displaystyle A\sum F(z)}$

– jest to de facto rozkład spektralny operatora ${\displaystyle A}$ tak, że ${\displaystyle z}$ są wartościami własnymi ${\displaystyle A,}$ a ${\displaystyle F(z)}$ jest operatorem rzutowym na podprzestrzeń odpowiadającą tej wartości. To tłumaczy, dlaczego operatory samosprzężone reprezentują wielkości mierzone w wielu przypadkach.

Przypisy

Bibliografia

• L.I. Schiff, Quantum Mechanics (3rd ed.), McGraw-Hill, 1968.
• A. Chefles, Quantum State Discrimination, Contemp. Phys. 41, 401 (2000), https://arxiv.org/abs/quant-ph/0010114v1.
• J.A. Bergou, U. Herzog, M. Hillery, Discrimination of Quantum States, Lect. Notes Phys. 649, s. 417–465 (2004).
• Detlef Dürr, Sheldon Goldstein, Roderich Tumulka, Nino Zanghì, Bell-type Quantum Field Theories, 2004.

• p
• d
• e

Mechanika kwantowa

• Wprowadzenie
• Aparat matematyczny
• Równanie Schrödingera

Tło	mechanika klasyczna mechanika kwantowa ciało doskonale czarne wczesna teoria kwantowa interferencja notacja Diraca hamiltonian
Koncepcje podstawowe	funkcja falowa stan kwantowy stan podstawowy stan stacjonarny równanie własne cząstka w pudle potencjału cząstki identyczne kwantowy oscylator harmoniczny spin superpozycja liczby kwantowe splątanie kwantowe pomiar nieoznaczoność reguła Pauliego dualizm korpuskularno-falowy dekoherencja kwantowa twierdzenie Ehrenfesta tunelowanie
Doświadczenia	doświadczenie Younga doświadczenie Davissona i Germera doświadczenie Francka-Hertza doświadczenie Sterna-Gerlacha eksperymenty testujące twierdzenie Bella doświadczenie Poppera kot Schrödingera problem testowania bomb Elitzura-Vaidmana gumka kwantowa
Sformułowania	obraz Schrödingera obraz Heisenberga obraz Diraca mechanika macierzowa suma po historiach
Równania	równanie Schrödingera równanie Pauliego równanie Kleina-Gordona równanie Diraca wzór Rydberga
Interpretacje	świadomość wywołuje kolaps spójne historie kwantowe kopenhaska statystyczna zmiennych ukrytych teoria fali pilotującej de Broglie’a-Bohma wielu światów logika kwantowa obiektywnego załamania prawdopodobieństwo kwantowe relacyjna stochastyczna transakcjonalna
Zagadnienia zaawansowane	informatyka kwantowa teoria rozpraszania kwantowa teoria pola operatory kreacji i anihilacji chaos kwantowy
Znani uczeni	Planck Bohr Sommerfeld Bose Kramers Heisenberg Born Jordan Pauli Dirac de Broglie Schrödinger von Neumann Wigner Feynman Candlin Bohm Everett Bell Wien

${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geqslant {\frac {\hbar }{2}}}$