Kryterium Condorceta

Kryterium Condorceta – w teorii wyboru społecznego, cecha metod wyborczych, opisująca czy prowadzą do wybrania zwycięzców Condorceta, czyli tych opcji, które wygrywają w głosowaniach między wszystkimi parami alternatyw. Kryterium to odzwierciedla ustalenia francuskiego matematyka i filozofa z XVIII wieku, Nicolasa Condorceta.

Nie w każdej sytuacji da się określić tak zdefiniowanych zwycięzców. Ten problem może wystąpić wskutek cykliczności preferencji, co jest podstawą paradoksu Condorceta. Kryterium nie gwarantuje więc rozstrzygnięcia wyborów, i nie definiuje samodzielnie kompletnej metody głosowania. Zaproponowano szereg metod condorcetowskich, które są uzupełnione o różne sposoby rozwiązania paradoksu i mają na celu jednoznaczne wyłanianie zwycięzców spośród opcji spełniających kryterium Condorceta.

Historia

Wczesny opis metody ustalenia zwycięzcy głosowania przez porównanie poparcia parami, zgodnej z koncepcjami Condorceta, przedstawił już w 1299 średniowieczny filozof Rajmund Llull w traktacie De Arte Eleccionis. Ten sam autor opisał też system głosowania identyczny z metodą Bordy w powieści Blanquerna z ok. 1283. Nie towarzyszyło temu jednak matematyczne ani logiczne uzasadnienie dla stosowania tych procedur^[1][2].

Analityczny opis zagadnienia sformułował w 1785 Condorcet, francuski myśliciel i orędownik demokracji, w pracy Essai sur l’application de l’analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix. Przekonywał w niej o wartości demokratycznych metod, wyprowadzając twierdzenie Condorceta o ławie przysięgłych. Argumentował o sensowności uznania za zwycięską takiej opcji w wyborach, która wygrałaby z każdą z alternatyw w osobnych głosowaniach parami. Dostrzegał przy tym, że wyznaczenie takiej opcji nie jest możliwe, gdy preferencje są cykliczne (analogicznie do potrójnego cyklu w grze w papier, kamień, nożyce, jak to opisał np. Saari). W dalszej części tekstu przedstawił niekompletny zarys rozwiązania tego problemu; według opracowania Hamana, podobne do tego szkicu są np. rozwinięte później metoda maksyminu i metoda Copelanda^[3][4][5][6].

W ciągu następnych stuleci badacze przedstawili wiele propozycji metod condorcetowskich; wszystkie spełniają kryterium Condorceta, jednak niektóre odbiegają od dodatkowych, pobocznych koncepcji tego myśliciela^[5].

Opis formalny

Zgodnie z notacją Fishburna, formalna definicja klasycznego kryterium Condorceta określa, że przy relacji większościowego zwycięstwa w zestawieniu parami ${\displaystyle W_{p},}$ funkcja wyboru społecznego ${\displaystyle C}$ jest condorcetowska wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych zbiorów alternatyw ${\displaystyle A}$ i preferencji ${\displaystyle p}$^[7]:

${\displaystyle C(A,p)=\{x\},}$ gdzie ${\displaystyle \forall y\in A\setminus \{x\}:x\in A\land xW_{p}y,}$

to znaczy gdy wybiera dokładnie taki zbiór, w którym znajduje się jedynie opcja wygrywająca w głosowaniu większościowym z każdą inną alternatywą.

Fishburn opisał także dodatkowe warianty kryterium, które zaproponowano w 20 wieku:

Kryterium Smitha: jeśli ${\displaystyle A}$ można podzielić na niepuste podzbiory ${\displaystyle A_{1}}$ i ${\displaystyle A_{2},}$ gdzie ${\displaystyle a_{1}W_{p}a_{2}}$ dla wszystkich ${\displaystyle a_{1}\in A_{1}}$ i ${\displaystyle a_{2}\in A_{2},}$ to ${\displaystyle A_{2}\cap C(A,p)=\varnothing .}$ Spełniająca to kryterium funkcja musi wybierać tylko najmniejszy zbiór alternatyw, które wygrywają ze wszystkimi opcjami spoza tego zbioru^[8].

Inkluzywne kryterium (słabego zwycięzcy) Condorceta: poza warunkami klasycznej formy kryterium, ${\displaystyle \{x\in A:\nexists yW_{p}x\}\subseteq C(A,p),}$ gdy drugi zbiór nie jest pusty^[8].

W notacji Hamana, jeśli w zbiorze alternatyw ${\displaystyle B}$ istnieje podzbiór słabych zwycięzców Condorceta ${\displaystyle (SZC),}$ czyli alternatywy nieprzegrywające w głosowaniu większościowym parami z żadnymi opcjami należącymi do ${\displaystyle B,}$ to co najmniej jedna z nich powinna należeć do zbioru alternatyw wybranych przez funkcję wyboru społecznego ${\displaystyle w,}$ przy zbiorze preferencji ${\displaystyle \Re }$ i relacji przewagi preferencji ${\displaystyle M}$^[5]:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{0}SZC=\{x\in B:\forall y\in B\sim (yMx)\}\\SZC\neq \varnothing \to w(\Re ,B)\cap SZC\neq \varnothing \end{alignedat}}}$

Jest to osłabiona forma tego kryterium, ponieważ inaczej niż wersja Fishburna, nie wymaga aby wszystkie elementy ${\displaystyle SZC}$ zostały wybrane.

Ekskluzywne kryterium (słabego zwycięzcy) Condorceta: ${\displaystyle C(A,p)\subseteq {x\in A:yW_{p}x,\nexists y\in A},}$ gdy drugi zbiór nie jest pusty^[8].

W notacji Hamana, jeśli zbiór ${\displaystyle SZC}$ nie jest pusty, to żadna opcja spoza niego nie powinna zostać wybrana^[5]:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{0}SZC=\{x\in B:\forall y\in B\sim (ymx)\}\\SZC\neq \varnothing \to w(\Re ,B)\subseteq SZC\end{alignedat}}}$

Ścisłe kryterium Condorceta: ${\displaystyle C(A,p)={x\in A:yW_{p}x,\nexists y\in A},}$ gdy drugi zbiór nie jest pusty^[8].

Zwycięzcy Condorceta wygrywają ze wszystkimi alternatywami; „słabi” zwycięzcy Condorceta nie przegrywają z żadną. O ile preferencje są przechodnie lub antycykliczne, to w zbiorze alternatyw muszą znajdować się są co najmniej słabi wyborcy Condorceta^[5].

Klasyczne kryterium Condorceta mieści się w kryterium inkluzywnym, które jest z kolei implikowane przez kryterium ekskluzywne, a ono przez ścisłą postać. Zbiór generowany przez kryterium Smitha mieści zbiór słabych zwycięzców Condorceta; są tożsame i zachodzi między nimi jednostronna implikacja, gdy preferencje są przechodnie^[5].

Według Fishburna, spośród różnych postaci kryterium najbardziej przekonujące normatywnie jest kryterium Smitha^[8]. Haman ocenia tak wersję klasyczną. Zaznacza jednak przy tym, że opcja uznana według niej za zwycięską, „nie musi być alternatywą »słuszną«, »korzystną« lub »sprawiedliwą«, [a kandydat] »najkompetentniejszy« i »najlepszy«”. Metody condorcetowskie gwarantują jednak co najmniej stabilność, ugruntowaną w autentycznym większościowym poparciu^[5].

Dane z głosowania mogą być przedstawione w macierzy ${\displaystyle WP}$ (wielkości przewagi w głosowania większościowym na parach alternatyw), lub macierzy ${\displaystyle WG}$ (wyników głosowania większościowego). Dla mocnego zwycięzcy wszystkie wyrazy odpowiedniego wiersza poza główną przekątną mają wartości dodatnie; dla słabego zwycięzcy są nieujemne^[5].

Spełnianie kryterium Condorceta

Metody spełniające kryterium Condorceta

• metoda Schulzego
• metoda Blacka (ang. Black method)
• Copeland’s method(inne języki)
• Dodgson’s method(inne języki)
• Kemeny-Young method(inne języki)
• Minimax Condorcet(inne języki)
• Nanson’s method(inne języki)
• Minimax Condorcet(inne języki) (Smith/minimax)
• Ranked Pairs(inne języki)

Metody niespełniające kryterium Condorceta

• Approval voting(inne języki),
• metoda Bordy
• Range voting(inne języki)
• plurality voting(inne języki)
• metoda natychmiastowej dogrywki (instant-runoff voting(inne języki))
• metoda Bucklina (Bucklin voting(inne języki))

Przypisy

Bibliografia

• Duncan Black: The Theory of Committees and Elections. Cambridge University Press, 1958. (ang.).brak strony w książce
• Robin Farquarson: Theory of Voting. Oxford: 1969. (ang.).brak strony w książce
• Amartya Kumar Sen: Collective Choice and Social Welfare. Holden-Day, 1970. ISBN 978-0816277650. (ang.).brak strony w książce