Funkcja Wignera

Funkcja Wignera – w mechanice kwantowej funkcja skonstruowana z funkcji falowej dająca informacje na temat rozkładu pędu i położenia stanu kwantowego w przestrzeni fazowej i umożliwiająca bezpośrednie porównanie rozwiązań równania Schrödingera w reprezentacji położeniowej z rozwiązaniami równań Hamiltona w sensie rozkładu statystycznego gęstości prawdopodobieństwa warunków początkowych. W tym sensie wyraża ona ewolucje czasową zbioru trajektorii klasycznych odpowiadających stanowi kwantowemu zaburzonych przez mechanike kwantową jeśli tylko jest wszędzie dodatnia. Jednak w odróżnieniu od klasycznego rozkładu prawdopodobieństwa warunków początkowych w przestrzeni fazowej istnieją stany dla których przyjmuje ona ujemne wartości, tzn. nie mają one jasnego odpowiednika w klasycznym rozkładzie warunków początkowych (pojawia się ujemne prawdopodobieństwo).

Konstrukcja funkcji Wignera polega na znalezieniu takiej funkcji W ( r , p , t ) , {\displaystyle W(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t),} dla której

∫ d 3 p   W ( r , p , t ) =∣ ψ ( r , t ) ∣ 2 = ρ ( r , t ) , {\displaystyle \int d^{3}p\ W(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)=\mid \psi (\mathbf {r} ,t)\mid ^{2}=\rho (\mathbf {r} ,t),}
∫ d 3 r   W ( r , p , t ) =∣ ψ ~ ( p , t ) ∣ 2 1 h 3 = ρ p ( p , t ) . {\displaystyle \int d^{3}r\ W(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)=\mid {\tilde {\psi }}(\mathbf {p} ,t)\mid ^{2}{\frac {1}{h^{3}}}=\rho _{p}(\mathbf {p} ,t).}

Gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie r {\displaystyle \mathbf {r} } równa jest całce z funkcji W ( r , p , t ) {\displaystyle W(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)} po zmiennej pędowej, zaś gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki o pędzie p {\displaystyle \mathbf {p} } równa jest całce z funkcji W ( r , p , t ) {\displaystyle W(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)} po zmiennej położeniowej.

Wigner zauważył, że związki te spełnia następująca biliniowa forma (definicja funkcji Wignera):

W ( r , p , t ) = 1 h 3 ∫ d 3 λ   ψ ∗ ( r − λ 2 , t ) ψ ( r + λ 2 , t ) e − i h p ⋅ λ . {\displaystyle W(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)={\frac {1}{h^{3}}}\int d^{3}\lambda \ \psi ^{*}(\mathbf {r} -{\frac {\boldsymbol {\lambda }}{2}},t)\psi (\mathbf {r} +{\frac {\boldsymbol {\lambda }}{2}},t)e^{-{\frac {i}{h}}\mathbf {p} \cdot {\boldsymbol {\lambda }}}.}

Funkcja Wignera zdefiniowana poprzez funkcje falowe jest użyteczna wyłącznie dla stanów czystych. Aby pozbyć się tego ograniczenia można zdefiniować funkcję Wignera w sposób ogólniejszy

W ( r , p , t ) = ∫ d 3 u   e − i p ⋅ u ⟨ r − 1 2 u | ρ ^ | r + 1 2 u ⟩ , {\displaystyle W(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)=\int d^{3}u\ e^{-i\mathbf {p} \cdot \mathbf {u} }\langle \mathbf {r} -{\frac {1}{2}}\mathbf {u} |{\hat {\rho }}|\mathbf {r} +{\frac {1}{2}}\mathbf {u} \rangle ,}

gdzie ρ ^ {\displaystyle {\hat {\rho }}} jest macierzą gęstości.

Działanie funkcji Wignera widać najlepiej dla dobrze zlokalizowanyh paczek falowych mających skończony pęd np. dla cząstki swobodnej w jednym wymiarze przestrzennym ze współrzędna r = x {\displaystyle \mathbf {r} =x} opisanej funkcją falową ψ ( x ) = N e i k x e − x 2 2 a 2 . {\displaystyle \psi (x)=Ne^{ikx}e^{-{\frac {x^{2}}{2a^{2}}}}.} Czynnik 1 / 2 {\displaystyle 1/2} mnożący λ {\displaystyle \lambda } pojawiający się w symetrycznym wyrażeniu podobnym do splotu funkcji ma podwójne działanie. Wykrywa duże czynniki fazowe pędu w funkcji falowej oraz skaluje gęstość przestrzenną do jej transformaty Fouriera tak aby wyprodukować prawidłową nieoznaczoność pędu. Jeśli gaussowska paczka falowa z fazą zespoloną i k x {\displaystyle ikx} reprezentującą pęd zlokalizowana jest np. wokoło punktu x = 0 {\displaystyle x=0} wtedy jest parzysta w sensie modułu w λ {\displaystyle \lambda } tzn. | ψ ( − λ / 2 ) | = | ψ ( λ / 2 ) | {\displaystyle |\psi (-\lambda /2)|=|\psi (\lambda /2)|} a znak minus z λ / 2 {\displaystyle \lambda /2} w argumencie funkcji falowej znosi się ze sprzężeniem zespolonym ∗ {\displaystyle *} produkując całkowity czynnik fazowy pędu w 2 × λ / 2 i k = λ i k . {\displaystyle 2\times \lambda /2ik=\lambda ik.} Dla x = 0 {\displaystyle x=0} funkcja Wignera jest więc transformatą Fouriera czynnika fazowego pędu pomnożonego przez przeskalowaną (poszerzoną) gaussowską gęstość przestrzenną w λ / 2 {\displaystyle \lambda /2} więc jest też funkcją Gaussa z maksimum w okolicy wartości tego pędu. Natomiast dla skończonego x {\displaystyle x} cała funkcja pomnożona jest przez gaussowską gęstość przestrzenną w x {\displaystyle x} niezależną od λ {\displaystyle \lambda } co znaczy, że funkcja Wignera w przestrzeni fazowej zlokalizowana jest zarówno w około lokalizacji przestrzennej cząstki jak i lokalizacji w przestrzeni pędu, tzn. wokoło wartości pędu z czynnika fazowego. Natomiast transformata Fouriera gęstości przestrzennej nie jest kwadratem transformaty Fouriera modułu Gaussowskiej funkcji falowej dającej rozkład pędu i przed transformatą potrzebne jest jej przeskalowanie.

Dla gaussowskiej funkcji falowej cząstki swobodnej o pędzie k {\displaystyle k} ( ℏ = 1 ) {\displaystyle (\hbar =1)}

ψ ( x ) = N e i k x e − x 2 2 a 2 . {\displaystyle \psi (x)=Ne^{ikx}e^{-{\frac {x^{2}}{2a^{2}}}}.}

Funkcja Wignera jest po prostu dana przez

W ( x , p ) = 2 N ( π a ) 1 / 2 e − x 2 a 2 e − a 2 ( p − k ) 2 . {\displaystyle W(x,p)=2N(\pi a)^{1/2}e^{-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}e^{-{a^{2}}(p-k)^{2}}.}

czyli jest iloczynem funkcji Gaussa pędu i funkcji Gaussa położenia o rozmyciach a 2 {\displaystyle a^{2}} i 1 / a 2 {\displaystyle 1/{a^{2}}} jednym będącym odwrotnością drugiego (zasada nieoznaczoności Heisenberga).

Bibliografia

  • W.P. Schleich: Quantum Optics in Phase Space. Berlin: Wiley-Vch, 2001.