Metrisk rom

Et metrisk rom i matematikk er en mengde der det er definert en metrikk eller et avstandsmål mellom to vilkårlige elementer i mengden. Et metrisk rom har en struktur kun bygd opp omkring avstanden mellom to objekter, og definisjonen gjør det mulig å studere matematiske sammenhenger basert på de formelle egenskaper til avstandsmålet. Et matematisk resultat der beviset bygger ene og alene på de generelle egenskapene til en metrikk, vil være gyldig i alle metriske rom.

Et eksempel på et metriske rom er mengden av reelle tall, definert med metrikken ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$. Andre eksempler euklidske rom Rⁿ, definert sammen en avstandsmetrikk, og Manhattan-metrikken for et sett av punkter i et kartesisk plan, gitt en metrikk basert på en sum av absoluttverdien av koordinatene til disse punktene.

Ethvert metrisk rom er også et topologisk rom, og mengden av alle metriske rom er derfor en undermengde av alle topologiske rom.^[1] Motsatt er alle normerte vektorrom, herunder alle indreproduktrom, metriske rom og mengden av alle normerte vektorrom (hhv. alle indreproduktsrom) er derfor ungdermengder av alle metriske rom.

Formell definisjon

Et metrisk rom (V,d) er en mengde V der det er definert en metrikk d, det vil si en funksjon som for to elementer i mengden returnerer et ikke-negativ reelt tall:

${\displaystyle d:V\times V\to \mathbb {R} ^{+}}$

Funksjonen må oppfylle følgende krav for alle elementer x, y i V:^[2]

${\displaystyle {\begin{array}{lll}d(x,y)&\geq 0&{\mbox{Ikke-negativ}}\\d(x,y)&=0\iff x=y\\d(x,y)&=d(y,x)&{\mbox{Symmetri}}\\d(x,y)&\leq d(x,z)+d(z,y)\qquad &{\mbox{Trekantulikheten}}\\\end{array}}}$

Eksempler på metriske rom

Mengden reelle tall og absoluttverdien mellom to tall

Mengden av alle reelle tall ${\displaystyle \mathbb {R} }$, kombinert med en metrikk definert som absoluttverdien mellom to punkter

${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$

er et metrisk rom.^[3] Vi har her at

${\displaystyle d(x,y)\leq 0}$

og lik 0 hvis og bare hvis ${\displaystyle x=y}$. Videre er

${\displaystyle d(x,y)=|x-y|=|y-x|=d(y,x)}$

så symmetribetingelsen er oppfylt, og for alle ${\displaystyle x,y,z\in \mathbb {R} }$ gjelder

${\displaystyle |x-y|\leq |x-z|+|z-y|}$,

det vil si at trekantulikheten også gjelder.

Euklidske rom og avstanden mellom to punkter

Ethvert euklidsk rom ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$, der metrikken er lik avstanden mellom to punkter, gitt ved

${\displaystyle d(x,y)={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+...+(x_{n}-y_{n})^{2}}}}$

er et metrisk rom.^[2] Denne metrikken er ikke-negativ og lik 0 hvis og bare hvis ${\displaystyle x=y}$. Videre er den er symmetrisk; å bytte om på x og y vil gi samme avstand:

${\displaystyle (x_{i}-y_{i})^{2}=(y_{i}-x_{i})^{2}}$

for alle i. Trekantulikheten holder også: For alle punkter ${\displaystyle x,y,z\in \mathbb {R} ^{n}}$, vil

${\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)}$.^[4]

Altså er alle betingelser oppfylt – og ethvert euklidsk rom, med metrikk gitt ved avstanden mellom to punkter, utgjør et metrisk rom.

Euklidske rom og Manhattan-metrikken

Manhattan-metrikken er definert over ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, med metrikk gitt ved

${\displaystyle d((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=|x_{1}-x_{2}|+|y_{1}-y_{2}|}$

for alle punkter ${\displaystyle p_{1}=(x_{1},y_{1}),p_{2}=(x_{2},y_{2})\in \mathbb {R} ^{2}}$.^[5] Dette tilsvarer avstanden man må kjør dersom man følger en kvadratisk gatestruktur mellom to punkter.

Et generelt rom og en diskret metrikk

Et annet eksempel på et metrisk rom er en mengde punkter ${\displaystyle S}$ og en diskret metrikk, gitt ved^[2][3]

${\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}0\quad {\text{hvis }}x=y\\1\quad {\text{hvis }}x\neq y\\\end{cases}}}$.

Metrikken er ikke-negativ og lik 0 hvis og bare hvis ${\displaystyle x=y}$, så første betingelse er oppfylt. Hvis ${\displaystyle x=y}$ så er ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)=0}$ og hvis ikke så er ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)=1}$; dermed gjelder også symmetribetingelsen. Videre, hvis ${\displaystyle x,y,z}$ er punkter i rommet ${\displaystyle S}$, der ${\displaystyle x=y}$ så gjelder ${\displaystyle 0=d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)}$ uansett hva ${\displaystyle z}$ er. Hvis ${\displaystyle x\neq y}$ så kan ikke både ${\displaystyle z=x}$ og ${\displaystyle z=y}$ (men muligens er én av de sanne) så minst én av ${\displaystyle d(x,z)}$ og ${\displaystyle d(z,y)}$ har verdi 1 og dermed gjelder også ${\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)}$ for alle punkter ${\displaystyle x,y,z\in S}$. Ettersom alle betingelsene er oppfylt, er ${\displaystyle S}$ med tilhørende metrikk et metrisk rom.

Egenskaper

Konvergens

En følge i et metrisk rom ${\displaystyle S}$ er en mengde punkter ${\displaystyle p_{0},p_{1},p_{2},...}$, ofte skrevet som ${\displaystyle \{p_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$, i dette rommet. Man sier at en følge konvergerer til en grense ${\displaystyle p\in S}$ dersom man for enhver ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ kan finne en verdi ${\displaystyle \epsilon }$ slik at

${\displaystyle d(p_{n},p)\leq \epsilon }$

for alle ${\displaystyle n>N}$.^[6]

Kontinuitet

En funksjon ${\displaystyle f:S_{1}\to S_{2}}$, der ${\displaystyle S_{1}}$ og ${\displaystyle S_{2}}$ er to metriske rom, sies å være kontinuerlig dersom den oppfyller epsilon-delta-betingelsen: Funksjonen ${\displaystyle f}$ er kontinuerlig for enhver ${\displaystyle \epsilon >0}$, der ${\displaystyle \epsilon \in \mathbb {R} }$, og enhver ${\displaystyle y\in S_{1}}$, finnes en ${\displaystyle \delta }$ slik at dersom ${\displaystyle x\in S_{1}}$ og ${\displaystyle d(x,y)<\epsilon }$, så er ${\displaystyle d(f(x),f(y))<\delta }$.^[7]

Kompletthet

Et metrisk rom V sies å være komplett dersom en hver Cauchyfølge konvergerer mot et element som også ligger i V. Alle lukkede mengder av komplette rom utgjør også i seg selv et komplett rom.^[8]

Mengden av reelle tall ${\displaystyle \mathbb {R} }$ er et eksempel på et komplett metrisk rom; det samme gjelder et generelt m-dimensjonalt euklidsk rom ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Det er derimot ikke mengden av rasjonale tall ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, dvs tall som kan skrives som en brøk. I ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ er det mulig å konstruere Cauchyfølger som konvergerer mot et grense som selv ikke er et rasjonalt tall.^[9]

Kompakthet

En undermengde A i et metrisk rom (V,d) er begrenset dersom det eksisterer et objekt x i A og en positiv konstant M slik at

${\displaystyle d(x,y)<M\ \ \forall y\in S}$^[10]

Et delmengde A i et metrisk rom V sies å være kompakt dersom enhver følge i A har en konvergent delfølge. Enhver kompakt mengde er lukket og begrenset.^[11]

Referanser

Litteratur

• Charles Chapman Pugh (2002). Real Mathematical Analysis. Berkeley, CA, USA: Springer. 
• Gerard Buskes, Arnoud van Rooij (1997). Topological Spaces – From Distance to Neighborhood. New York, NY, USA: Springer. 

Eksterne lenker

• (en) Eric W. Weisstein, Metric Space i MathWorld.