Penrose-betegeling : Eigenschappen, Achtergrond, Varianten, Literatuur Wikipedia, de vrije encyclopedie

Penrose-betegeling

Dezelfde betegeling, nu met ingekleurde complete 'sterren'.

De twee penrosetegels, waarmee bovenstaande penrosebetegeling is geconstrueerd. Φ is het getal van de gulden snede.

Een andere penrosebetegeling, met dezelfde twee tegels gemaakt.

Een penrose-betegeling is een niet-periodieke betegeling, gegenereerd door een aperiodieke verzameling van twee of meer voorbeeldtegels. De betegeling is naar Roger Penrose genoemd, die deze verzamelingen in de jaren zeventig van de 20ste eeuw onderzocht. Aangezien penrosebetegelingen nooit periodiek zijn, worden het vaak aperiodieke betegelingen genoemd: er komt in de betegelingen geen translatiesymmetrie voor. Dat wil echter niet zeggen dat er geheel geen symmetrie in de betegelingen voorkomt: van de oneindig veel mogelijke betegelingen zijn er twee die zowel spiegelsymmetrie als vijfvoudige rotatiesymmetrie bezitten. De ordening van atomen in een quasikristal volgt die van een penrosebetegeling in drie dimensies.

Eigenschappen

Penrose^[1] ontdekte dat het vlak kan worden betegeld met slechts twee figuren of "tegels", waarbij:

het vlak met de twee tegels zonder overlapping en zonder gaten op oneindig veel verschillende manieren kan worden betegeld,
geen enkele van deze betegelingen periodiek is, dus nooit door translatie in zichzelf kunnen overgaan en
ieder eindig, begrensd deel van een betegeling een oneindig aantal keer in elke andere betegeling voorkomt.

Achtergrond

De Nederlandse wiskundige N. G. De Bruijn kwam in 1981 met een methode om penrosebetegelingen te construeren^[2] uit vijf families van parallelle lijnen, gebruik makend van een "cut and project" methode, waarin penrosebetegelingen worden verkregen als tweedimensionale projecties van een vijfdimensionale kubieke structuur. Een penrosebetegeling is in deze aanpak een verzameling van punten en de tegels ontstaan door deze punten als de hoekpunten daarvan met elkaar te verbinden.

Er verscheen op 22 februari 2007 een artikel in Science,^[3] waarin de ontdekking van penrosebetegelingen in middeleeuwse islamitische architectuur wordt beschreven, vijf eeuwen voor hun ontdekking in het westen.

Varianten

Een wang-betegeling is op dezelfde manier gedefinieerd, behalve dat de tegels samengestelde tegels zijn, vierkanten opgebouwd uit vier driehoeken.
Penrose-betegelingen zijn in tegenstelling tot fractals niet zelfgelijkvormig.

Literatuur

(en) R Penrose. The Emperor's New Mind, 1989.
(en) United States Patent, Penrose. [54] Set of tiles for covering a surface, 9 januari 1979. U.S. Patent 4133152
(en) M Gardner. Penrose Tiles, 2001. hoofdstuk 7 in zijn The Colossal Book of Mathematics: Classic Puzzles, Paradoxes, and Problems
(en) op WorldCat
in I Hargittai. Fivefold symmetry, 1992. blz 67-86
E Markovicky. 800-Year-Old Pentagonal Tiling From Maragha, Iran, and the New Varieties of Aperiodic Tiling it Inspired.
(en) R Penrose. The role of aesthetics in pure and applied mathematical research, 1974. in Bulletin of the Institute of Mathematics and Its Applications, blz 266-271 ISSN 0146-3942
(de) C Pöppe. Quasikristalle in neuem Licht, 1999. in Spektrum der Wissenschaft 7, blz 14-17 ISSN 0170-2971
(de) P Stephens en A Goldman. Die Struktur der Quasikristalle, 1991. in Spektrum der Wissenschaft 6, blz 48-56 ISSN 0170-2971
(en) On de Bruijn Grids and Tilings, mathpages.com

Externe link

(en) Veritasium, The Infinite Pattern That Never Repeats (30 september 2020). YouTube-filmpje over de Penrose-betegeling met voorgeschiedenis en context. De betegeling zelf is te zien vanaf 5'35".

Voetnoten

↑ (en) R Penrose voor de Mathematical Intelligencer. Pentaplexity A Class of Non-Periodic Tilings of the Plane, 1979. (pdf)
↑ (de) N. G. de Bruijn’s Algebraic theory of Penrose’s non-periodic tilings of the plane, 8 juli 2004. (pdf)
↑ (en) PJ Lu en PJ Steinhardt voor Science. Decagonal and Quasi-Crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture, 2007.