Greense functie

Een greense functie, genoemd naar de Britse wiskundige George Green, die deze functie rond 1830 ontwikkelde, is een bepaald type functie dat gebruikt wordt voor het oplossen van inhomogene lineaire differentiaalvergelijkingen met randvoorwaarden.

Greense functies spelen een belangrijke rol in veel vraagstukken van elektromagnetisme, akoestica, elasticiteit en dies meer. Ze spelen zowel een rol in de theoretische uitwerking van in de praktijk voorkomende vraagstukken, als ook in oplossingsmethoden met behulp van numerieke wiskunde.

Achtergrond

De oplossingen van een stelsel van lineaire vergelijkingen $Ax=b$ met een singuliere matrix $A$ zijn van de vorm

x=x_{\text{S}}+x_{0}

waarin

Ax_{0}=0

en $x_{\text{S}}$ een speciale oplossing is van het stelsel die gevonden kan worden met behulp van een matrix $B$ waarvoor geldt:

AB=I

Dan is namelijk voor $x_{\text{S}}=Bb$

Ax_{\text{S}}=ABb=b

Naar analogie hiermee kan een zogenaamde particuliere oplossing $f_{\text{S}}$ van de inhomogene lineaire differentiaalvergelijking $Lf=g$ gevonden worden met behulp van de greense functie $G=G(x,y)$ waarvoor geldt:

(LG)(x,y)=\delta (x-y)

(NB. de differentiaalvergelijking wordt veel verkeerdelijk geschreven als $L\{f(x)\}=g(x)$ in plaats van $Lf(x)=g(x)$ .)

Aangezien

(Lf)(x)=\int L(x,y)f(y)\,\mathrm {d} y

(LG)(x,z)=\int L(x,y)G(y,z)\,\mathrm {d} y=\delta (x-z)

volgt namelijk voor $f_{\text{S}}=Gg$ d.w.z.

f_{\text{S}}(x)=(Gg)(x)=\int G(x,y)g(y)\,\mathrm {d} y

dat

(Lf_{\text{S}})(x)=\int L(x,y)f_{\text{S}}(y)\,\mathrm {d} y=\int L(x,y)(Gg)(y)\,\mathrm {d} y=

=\int L(x,y)\int G(y,z)g(z)\,\mathrm {d} z\,\mathrm {d} y=\int \delta (x-z)g(z)\,\mathrm {d} z=g(x)

Het oplossen van de differentiaalvergelijking komt dus neer op het vinden van de bijbehorende greense functie. Een greense functie is niet altijd een echte functie, maar in het algemeen wel een distributie.

Definitie

De functie $G=G(x,y)$ heet greense functie van de lineaire differentiaaloperator $L$ als:

(LG)(x,y)=\delta (x-y)

Met behulp van deze greense functie kan een particuliere oplossing $f_{\text{S}}$ van de inhomogene lineaire differentiaalvergelijking

Lf=g

geschreven kan worden als:

f_{\text{S}}(x)=\int G(x,y)g(y)\,\mathrm {d} y

Eigenwaarden

Als de differentiaaloperator $L$ een volledig stelsel eigenvectoren $\psi _{n}$ heeft, kan daarmee een greense functie gevonden worden. Voor het volledige stelsel eigenvectoren $\psi _{n}$ geldt namelijk:

\sum _{n=0}^{\infty }\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)=\delta (x-y)

Voor de greense functie $G$ kan dan genomen worden:

G(x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{\lambda _{n}}}\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)

waarin $\lambda _{n}$ de bij $\psi _{n}$ behorende eigenwaarde is.

Oplossingsmethoden

Een handige manier om de greense functie G(x,y) uit te rekenen is door G in te vullen in de differentiaaloperator.

LG=\delta (x-y)

Daardoor wordt het domein nu in tweeën opgesplitst: $x<y$ en $x>y.$ In deze twee gebieden is de differentiaalvergelijking homogeen en (vaak) eenvoudiger op te lossen met de standaardtechnieken. Om de coëfficiënten te vinden is het nodig om de differentiaalvergelijking in zijn geheel een keer te integreren.

Het opleggen van de randvoorwaarden, continuïteit op $x=y$ en het verband uit de geïntegreerde differentiaalvergelijking levert de coëfficiënten op (die van $y$ afhangen).