Gell-Mann-matrices

De Gell-Mann-matrices zijn acht lineair onafhankelijke hermitische 3×3-matrices met spoor 0 die een mogelijke representatie van de infinitesimale generatoren van de speciale unitaire groep $\mathrm {SU} (3)$ vormen. Zij zijn genoemd naar de Amerikaanse natuurkundige Murray Gell-Mann en worden gebruikt in de studie van de sterke wisselwerking in de deeltjesfysica en het quarkmodel en, in mindere mate, in de kwantumchromodynamica.

Definitie

De Gell-Mann-matrices $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{8}$ zijn de acht 3×3-matrices:

$\lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$
$\lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}$
$\lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}$

Deze matrices hebben een spoor gelijk aan 0 en zijn hermitisch en onderling orthogonaal met betrekking tot het (gewone) frobenius-inproduct:

\langle \lambda _{i},\lambda _{j}\rangle _{F}=\sum _{p.q}{\bar {\lambda }}_{ipq}\lambda _{jpq}=\operatorname {sp} (\lambda _{i}\lambda _{j})=2\delta _{ij}

Deze eigenschappen werden gekozen door Gell-Mann, omdat zij dan de eigenschappen van de pauli-matrices generaliseren.

De groep $\mathrm {SU} (3)$ is een reële lie-algebra van dimensie acht, en de Gell-Mann-matrices vormen een representatie daarvan en zijn lineair onafhankelijke generatoren, die voldoen aan de commutatierelaties

[\lambda _{p},\lambda _{q}]=2i\sum _{k}f^{pqk}\lambda _{k}

De structuurconstanten $f^{ijk}$ zijn volledig antisymmetrisch in de drie indices en hebben dus als gevolg van de jacobi-identiteit de waarde 0, tenzij er een oneven aantal indices uit de getallen 2, 5 en 7 komt. In die gevallen zijn de waarden:

f^{123}=1

f^{147}=f^{165}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=f^{376}={\tfrac {1}{2}}

f^{458}=f^{678}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}

In deze voorstelling vormen de lineaire combinaties (met reële coëfficiënten) van de twee matrices $\lambda _{3}$ en $\lambda _{8}$ , die met elkaar commuteren, de cartan-deelalgebra. Er zijn 3 onafhankelijke $\mathrm {SU} (2)$ deelgroepen: $\{\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\},\,\{\lambda _{4},\lambda _{5},x\}$ en $\{\lambda _{6},\lambda _{7},y\}$ , waarin $x$ en $y$ lineaire combinaties van $\lambda _{3}$ en $\lambda _{8}$ zijn.