特殊ユニタリ群

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n 次の特殊ユニタリ群（とくしゅユニタリぐん、英語: special unitary group）SU(n) とは、行列式が1の n 次ユニタリ行列の為す群の事である。群の演算は行列の積で与えられる。

特殊ユニタリ群 SU(n) はユニタリ群 U(n) の部分群であり、さらに一般線型群 GL(n, C)の部分群である。

特殊ユニタリ群は素粒子物理学において、電弱相互作用のワインバーグ＝サラム理論や強い相互作用の量子色力学、あるいはそれらを統合した標準模型や大統一理論などに出てくる。

定義

S U ( n ) = { g ∈ U ( n ) ; det g = 1 } {\displaystyle \mathrm {SU} (n)=\{g\in U(n);\det g=1\}}

ここで U(n) はユニタリ群、 det は行列式である。

性質

特殊ユニタリ群 SU(n) は、以下のような性質を満たす。

生成子

SU(n) の生成子 T は、トレースが 0 のエルミート行列で表現される。

t r T a = 0 {\displaystyle \mathrm {tr} \,T_{a}=0}
T a † = T a {\displaystyle T_{a}^{\dagger }=T_{a}}

基本表現

基本表現、或いは定義表現では、n 次正方行列で表現される。

T a T b = 1 2 n δ a b I n + 1 2 ∑ c = 1 n 2 − 1 ( i f a b c + d a b c ) T c {\displaystyle T_{a}T_{b}={\frac {1}{2n}}\delta _{ab}I_{n}+{\frac {1}{2}}\sum _{c=1}^{n^{2}-1}(if_{abc}+d_{abc})T_{c}}

ここで、 f は構造定数で、全ての添え字に関して反対称であり、d は全ての添え字に関して対称である。

従って、

{ T a , T b } = T a T b + T b T a = 1 n δ a b I n + ∑ c = 1 n 2 − 1 d a b c T c {\displaystyle \{T_{a},T_{b}\}=T_{a}T_{b}+T_{b}T_{a}={\frac {1}{n}}\delta _{ab}I_{n}+\sum _{c=1}^{n^{2}-1}d_{abc}T_{c}}
[ T a , T b ] = T a T b − T b T a = i ∑ c = 1 n 2 − 1 f a b c T c {\displaystyle [T_{a},T_{b}]=T_{a}T_{b}-T_{b}T_{a}=i\sum _{c=1}^{n^{2}-1}f_{abc}T_{c}}

規格化条件として

∑ c , e = 1 n 2 − 1 d a c e d b c e = n 2 − 4 n δ a b {\displaystyle \sum _{c,e=1}^{n^{2}-1}d_{ace}d_{bce}={\frac {n^{2}-4}{n}}\delta _{ab}}

をとる。

随伴表現

随伴表現では、n2−1 次正方行列で表現され、その成分は、

( T a ) i j = − i f a i j {\displaystyle (T_{a})_{ij}=-if_{aij}\,}

で与えられる。

例

SU(2)

SU(2) の元の一般形は

U = [ α − β ¯ β α ¯ ] {\displaystyle U={\begin{bmatrix}\alpha &-{\bar {\beta }}\\\beta &{\bar {\alpha }}\\\end{bmatrix}}}

となる。ここで、α, β ∈ C は |α|2 + |β|2 = 1 を満たす。

SU(3)

s u ( 3 ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)} の生成子 T の基本表現は

T a = 1 2 λ a {\displaystyle T_{a}={\frac {1}{2}}\lambda _{a}}

ここで、 λ {\displaystyle \lambda } はゲルマン行列である。

λ 1 = [ 0 1 0 1 0 0 0 0 0 ] λ 2 = [ 0 − i 0 i 0 0 0 0 0 ] λ 3 = [ 1 0 0 0 − 1 0 0 0 0 ] {\displaystyle \lambda _{1}={\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}\quad \lambda _{2}={\begin{bmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}\quad \lambda _{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}}
λ 4 = [ 0 0 1 0 0 0 1 0 0 ] λ 5 = [ 0 0 − i 0 0 0 i 0 0 ] λ 6 = [ 0 0 0 0 0 1 0 1 0 ] {\displaystyle \lambda _{4}={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\\\end{bmatrix}}\quad \lambda _{5}={\begin{bmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\\\end{bmatrix}}\quad \lambda _{6}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{bmatrix}}}
λ 7 = [ 0 0 0 0 0 − i 0 i 0 ] λ 8 = 1 3 [ 1 0 0 0 1 0 0 0 − 2 ] {\displaystyle \lambda _{7}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\\\end{bmatrix}}\quad \lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\\\end{bmatrix}}}

交換関係は

[ T a , T b ] = i ∑ c = 1 8 f a b c T c {\displaystyle [T_{a},T_{b}]=i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}T_{c}}

となり、構造定数 f は

f 123 = 1 {\displaystyle f_{123}=1\,}
f 147 = − f 156 = f 246 = f 257 = f 345 = − f 367 = 1 2 {\displaystyle f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}={\frac {1}{2}}\,}
f 458 = f 678 = 3 2 {\displaystyle f_{458}=f_{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,}

となる。d は

d 118 = d 228 = d 338 = − d 888 = 1 3 {\displaystyle d_{118}=d_{228}=d_{338}=-d_{888}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,}
d 448 = d 558 = d 668 = d 778 = − 1 2 3 {\displaystyle d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\,}
d 146 = d 157 = − d 247 = d 256 = d 344 = d 355 = − d 366 = − d 377 = 1 2 . {\displaystyle d_{146}=d_{157}=-d_{247}=d_{256}=d_{344}=d_{355}=-d_{366}=-d_{377}={\frac {1}{2}}.\,}

となる。

他の群との関係

素粒子物理学では、対称性の破れに関連して部分群が重要になる。

S U ( p + q ) ⊃ S U ( p ) × S U ( q ) × U ( 1 ) {\displaystyle \mathrm {SU} (p+q)\supset \mathrm {SU} (p)\times \mathrm {SU} (q)\times \mathrm {U} (1)}
S U ( n ) ⊃ O ( n ) {\displaystyle \mathrm {SU} (n)\supset \mathrm {O} (n)}
S U ( 2 n ) ⊃ U S p ( 2 n ) {\displaystyle \mathrm {SU} (2n)\supset \mathrm {USp} (2n)}
S O ( 2 n ) ⊃ S U ( n ) {\displaystyle \mathrm {SO} (2n)\supset \mathrm {SU} (n)}
U S p ( 2 n ) ⊃ S U ( n ) {\displaystyle \mathrm {USp} (2n)\supset \mathrm {SU} (n)}
E 6 ⊃ S U ( 6 ) {\displaystyle \mathrm {E} _{6}\supset \mathrm {SU} (6)}
E 7 ⊃ S U ( 8 ) {\displaystyle \mathrm {E} _{7}\supset \mathrm {SU} (8)}
G 2 ⊃ S U ( 3 ) {\displaystyle \mathrm {G} _{2}\supset \mathrm {SU} (3)}

O(n): 直交群、SO(n): 特殊直交群、USp(2n): シンプレクティック群、E6, E7, G2: 例外型リー群

また、スピン群と以下の同型がある

S p i n ( 6 ) = S U ( 4 ) {\displaystyle \mathrm {Spin} (6)=\mathrm {SU} (4)}
S p i n ( 4 ) = S U ( 2 ) × S U ( 2 ) {\displaystyle \mathrm {Spin} (4)=\mathrm {SU} (2)\times \mathrm {SU} (2)}
S p i n ( 3 ) = S U ( 2 ) = U S p ( 2 ) {\displaystyle \mathrm {Spin} (3)=\mathrm {SU} (2)=\mathrm {USp} (2)}

関連項目

外部リンク

  • Weisstein, Eric W. "Special Unitary Group". mathworld.wolfram.com (英語).
  • special unitary group in nLab