ラマヌジャンの和公式

ラマヌジャンの和公式（ラマヌジャンのわこうしき、Ramanujan's summation formula）は、q超幾何級数 1 ψ 1 {\displaystyle {_{1}\psi _{1}}} の和を与える公式である[1]。

1 ψ 1 [ a b ; q , z ] = ∑ n = − ∞ ∞ ( a ; q ) n ( b ; q ) n z n = ( a z ; q ) ∞ ( q ; q ) ∞ ( q a z ; q ) ∞ ( b a ; q ) ∞ ( z ; q ) ∞ ( b ; q ) ∞ ( b a z ; q ) ∞ ( q a ; q ) ∞ ( | q | < 1 , | b / a | < | z | < 1 ) {\displaystyle {_{1}\psi _{1}}\left[{\begin{matrix}a\\b\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}={\frac {(az;q)_{\infty }(q;q)_{\infty }\left({\frac {q}{az}};q\right)_{\infty }\left({\frac {b}{a}};q\right)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }(b;q)_{\infty }\left({\frac {b}{az}};q\right)_{\infty }\left({\frac {q}{a}};q\right)_{\infty }}}\qquad (|q|<1,|b/a|<|z|<1)}

証明

ラマヌジャンの和公式はq二項定理から導かれる。 n {\displaystyle n} が負の整数であれば

1 ( q ; q ) n = 1 ∏ k = n − 1 1 ( 1 − q 1 + k ) = ∏ k = n − 1 ( 1 − q 1 + k ) = 0 ( − n ∈ N ) {\displaystyle {\frac {1}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{\displaystyle \prod _{k=n}^{-1}{\frac {1}{(1-q^{1+k})}}}}=\prod _{k=n}^{-1}(1-q^{1+k})=0\qquad (-n\in \mathbb {N} )}

であるから、q二項定理は

( a z ; q ) ∞ ( z ; q ) ∞ = ∑ n = 0 ∞ ( a ; q ) n ( q ; q ) n z n = ∑ n = − ∞ ∞ ( a ; q ) n ( q ; q ) n z n {\displaystyle {\frac {(az;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}z^{n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}z^{n}}

と書ける。 k {\displaystyle k} を任意の正の整数として

( a z ; q ) ∞ ( z ; q ) ∞ = ∑ n = − ∞ ∞ ( a ; q ) n ( q ; q ) n z n = ∑ n = − ∞ ∞ ( a ; q ) n + k ( q ; q ) n + k z n + k = ( a ; q ) k ( q ; q ) k z k ∑ n = − ∞ ∞ ( a q k ; q ) n ( q 1 + k ; q ) n z n {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {(az;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}z^{n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n+k}}{(q;q)_{n+k}}}z^{n+k}\\&={\frac {(a;q)_{k}}{(q;q)_{k}}}z^{k}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(aq^{k};q)_{n}}{(q^{1+k};q)_{n}}}z^{n}\\\end{aligned}}}

であるから

∑ n = − ∞ ∞ ( a q k ; q ) n ( q 1 + k ; q ) n z n = ( a z ; q ) ∞ ( q ; q ) k ( z ; q ) ∞ ( a ; q ) k z − k = ( a z ; q ) k ( a q k z ; q ) ∞ ( q ; q ) k ( z ; q ) ∞ ( a ; q ) k z − k = ( a z ; q ) k ( a q k z ; q ) ∞ ( q ; q ) ∞ ( z ; q ) ∞ ( a ; q ) k ( q 1 + k ; q ) ∞ z − k = ( a q k z ; q ) ∞ ( q ; q ) ∞ ( a q k q − k z ; q ) k ( z ; q ) ∞ ( q 1 + k ; q ) ∞ ( a q k q − k ; q ) k z − k {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(aq^{k};q)_{n}}{(q^{1+k};q)_{n}}}z^{n}&={\frac {(az;q)_{\infty }(q;q)_{k}}{(z;q)_{\infty }(a;q)_{k}}}z^{-k}\\&={\frac {(az;q)_{k}(aq^{k}z;q)_{\infty }(q;q)_{k}}{(z;q)_{\infty }(a;q)_{k}}}z^{-k}\\&={\frac {(az;q)_{k}(aq^{k}z;q)_{\infty }(q;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }(a;q)_{k}(q^{1+k};q)_{\infty }}}z^{-k}\\&={\frac {(aq^{k}z;q)_{\infty }(q;q)_{\infty }(aq^{k}q^{-k}z;q)_{k}}{(z;q)_{\infty }(q^{1+k};q)_{\infty }(aq^{k}q^{-k};q)_{k}}}z^{-k}\\\end{aligned}}}

である。 a q k {\displaystyle aq^{k}} を a {\displaystyle a} と書き、qポッホハマー記号の変換式

( a q − n ; q ) n = ( − a q ) n q − n ( n − 1 ) / 2 ( q a ; q ) n {\displaystyle \left(aq^{-n};q\right)_{n}=\left(-{\frac {a}{q}}\right)^{n}q^{-n(n-1)/2}\left({\frac {q}{a}};q\right)_{n}}

により

∑ n = − ∞ ∞ ( a ; q ) n ( q 1 + k ; q ) n z n = ( a z ; q ) ∞ ( q ; q ) ∞ ( a q − k z ; q ) k ( z ; q ) ∞ ( q 1 + k ; q ) ∞ ( a q − k ; q ) k z − k = ( a z ; q ) ∞ ( q ; q ) ∞ ( q a z ; q ) k ( z ; q ) ∞ ( q 1 + k ; q ) ∞ ( q a ; q ) k = ( a z ; q ) ∞ ( q ; q ) ∞ ( q a z ; q ) ∞ ( q 1 + k a ; q ) ∞ ( z ; q ) ∞ ( q 1 + k ; q ) ∞ ( q 1 + k a z ; q ) ∞ ( q a ; q ) ∞ {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q^{1+k};q)_{n}}}z^{n}&={\frac {(az;q)_{\infty }(q;q)_{\infty }(aq^{-k}z;q)_{k}}{(z;q)_{\infty }(q^{1+k};q)_{\infty }(aq^{-k};q)_{k}}}z^{-k}\\&={\frac {(az;q)_{\infty }(q;q)_{\infty }\left({\frac {q}{az}};q\right)_{k}}{(z;q)_{\infty }(q^{1+k};q)_{\infty }\left({\frac {q}{a}};q\right)_{k}}}\\&={\frac {(az;q)_{\infty }(q;q)_{\infty }\left({\frac {q}{az}};q\right)_{\infty }\left({\frac {q^{1+k}}{a}};q\right)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }(q^{1+k};q)_{\infty }\left({\frac {q^{1+k}}{az}};q\right)_{\infty }\left({\frac {q}{a}};q\right)_{\infty }}}\\\end{aligned}}}

となり、 q 1 + k {\displaystyle q^{1+k}} を b {\displaystyle b} と書き、

∑ n = − ∞ ∞ ( a ; q ) n ( b ; q ) n z n = ( a z ; q ) ∞ ( q ; q ) ∞ ( q a z ; q ) ∞ ( b a ; q ) ∞ ( z ; q ) ∞ ( b ; q ) ∞ ( b a z ; q ) ∞ ( q a ; q ) ∞ ( b = q k , k ∈ N ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}&={\frac {(az;q)_{\infty }(q;q)_{\infty }\left({\frac {q}{az}};q\right)_{\infty }\left({\frac {b}{a}};q\right)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }(b;q)_{\infty }\left({\frac {b}{az}};q\right)_{\infty }\left({\frac {q}{a}};q\right)_{\infty }}}\qquad (b=q^{k},k\in \mathbb {N} )\\\end{aligned}}}

となる。さて、左辺は

∑ n = − ∞ ∞ ( a ; q ) n ( b ; q ) n z n = ∑ n = 0 ∞ ( a ; q ) n ( b ; q ) n z n + ∑ n = 1 ∞ ( a ; q ) − n ( b ; q ) − n z − n = ∑ n = 0 ∞ ( a ; q ) n ( b ; q ) n z n + ∑ n = 1 ∞ ( b q − n ; q ) n ( a q − n ; q ) n z − n = ∑ n = 0 ∞ ( a ; q ) n ( b ; q ) n z n + ∑ n = 1 ∞ ( q b ; q ) n ( q a ; q ) n ( b a z ) n {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(a;q)_{-n}}{(b;q)_{-n}}}z^{-n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(bq^{-n};q)_{n}}{(aq^{-n};q)_{n}}}z^{-n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left({\frac {q}{b}};q\right)_{n}}{\left({\frac {q}{a}};q\right)_{n}}}\left({\frac {b}{az}}\right)^{n}\\\end{aligned}}}

であるから、 | q | < 1 , | z | < 1 , | b | < | a z | , | b | < 1 , | a | > | q | {\displaystyle |q|<1,|z|<1,|b|<|az|,|b|<1,|a|>|q|} で収束する。従って、両辺とも b {\displaystyle b} の関数として考えれば b = 0 {\displaystyle b=0} で正則であり、 b = q k → 0 {\displaystyle b=q^{k}\to 0} で両辺が一致するから一致の定理により大局的にも一致する。

出典

  1. ^ Kim (2006), Transformations of Ramanujan's Summation Formula and its Application

関連項目