フォッカー・プランク方程式

フォッカー・プランク方程式（英: Fokker–Planck equation）とは、統計力学でクラマース・モヤル方程式（英語版）においてn ≥ 3 の項のない次の方程式のことをいう。

∂ P ( x , t ) ∂ t = − ∂ ∂ x α 1 ( x , t ) P ( x , t ) + 1 2 ∂ 2 ∂ x 2 α 2 ( x , t ) P ( x , t ) {\displaystyle {\frac {\partial P(x,t)}{\partial t}}=-{\frac {\partial }{\partial x}}\alpha _{1}(x,t)P(x,t)+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\alpha _{2}(x,t)P(x,t)}

物理量x (t) の揺動が確率微分方程式

d x d t = a ( x , t ) + b ( x , t ) R ( t ) {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=a(x,t)+b(x,t)R(t)}

という形で与えられるとする。ただし、R (t) は白色雑音のガウス過程：

⟨ R ( t ) R ( t ′ ) ⟩ = D δ ( t − t ′ ) {\displaystyle \langle R(t)R(t')\rangle =D\delta (t-t')}

である。このとき、x の確率分布P (x, t) はフォッカー・プランク方程式に従う。ただし係数の定義には以下の2つの流儀がある：

α 1 ( x , t ) = a ( x , t ) α 2 ( x , t ) = D ( b ( x , t ) ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}(x,t)&=a(x,t)\\\alpha _{2}(x,t)&=D(b(x,t))^{2}\end{aligned}}}
  • ストラトノビッチの方法
α 1 ( x , t ) = a ( x , t ) + D 2 ∂ b ∂ x ( x , t ) b ( x , t ) α 2 ( x , t ) = D ( b ( x , t ) ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}(x,t)&=a(x,t)+{\frac {D}{2}}{\frac {\partial b}{\partial x}}(x,t)b(x,t)\\\alpha _{2}(x,t)&=D(b(x,t))^{2}\end{aligned}}}

特に線形ブラウン運動（オルンシュタイン＝ウーレンベック過程）に対する方程式を線形フォッカー・プランク方程式という。このときは

α 1 ( x , t ) = − γ x α 2 ( x , t ) = D {\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}(x,t)&=-\gamma x\\\alpha _{2}(x,t)&=D\end{aligned}}}

となる（γ , D は定数）。これは

d x d t = − γ x + R ( t ) {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=-\gamma x+R(t)}

というランジュバン方程式に対応する。

参考文献

  • 『物理学辞典』培風館、1984年。 

関連項目