スルツキー方程式

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スルツキー方程式 （またはスルツキー恒等式, 英: Slutsky equation, Slutsky identity） とは、マーシャルの非補償需要の変化をヒックスの補償需要の変化と関連付ける方程式のこと^{[注 1][1][2][3]}。エヴゲニー・スルツキーに由来する。

概要

財jの価格が微小単位だけ上昇したときの、財iへのマーシャルの非補償需要の変化を分解する式がスルツキー方程式である。

${\displaystyle {\partial x_{i}(\mathbf {p} ,w) \over \partial p_{j}}={\partial h_{i}(\mathbf {p} ,u) \over \partial p_{j}}-{\partial x_{i}(\mathbf {p} ,w) \over \partial w}x_{j}(\mathbf {p} ,w),\,}$

ただし${\displaystyle h(\mathbf {p} ,u)}$はヒックスの補償需要で、${\displaystyle x(\mathbf {p} ,w)}$はマーシャルの非補償需要で${\displaystyle \mathbf {p} }$は価格のベクトルで${\displaystyle w}$は所得水準で、${\displaystyle u}$は効用水準である。ここでの「効用水準」とは、効用最大化問題を解いて得られた間接効用関数を初期時点における価格と所得の下で評価${\displaystyle v(\mathbf {p} ,w)}$である。

この式の右辺は、「財jの価格が微小単位だけ上昇したときの、効用水準をuに固定した下での財iへの需要（ヒックスの補償需要）の変化」から「『所得水準が微小単位だけ上昇したときの財iへのマーシャルの非補償需要の変化』×『財jへのマーシャルの非補償需要』」を引いたものである。最初の項は代替効果を表し、第2項は所得効果を表す^[2]。

スルツキー方程式を用いた財の分類

スルツキー方程式は、財の分類をする上で役に立つ。jをiに書き換えて右辺と左辺を入れ替えると以下のようになる。

${\displaystyle {\partial h_{i}(\mathbf {p} ,u) \over \partial p_{i}}-{\partial x_{i}(\mathbf {p} ,w) \over \partial w}x_{i}(\mathbf {p} ,w),\ ={\partial x_{i}(\mathbf {p} ,w) \over \partial p_{i}}}$

この式を基に以下の場合分けができる。

場合	${\displaystyle {\partial h_{i}(\mathbf {p} ,u) \over \partial p_{j}}}$	${\displaystyle {\partial x_{i}(\mathbf {p} ,w) \over \partial w}x_{j}(\mathbf {p} ,w)}$	${\displaystyle \left|{\partial h_{i}(\mathbf {p} ,u) \over \partial p_{j}}\right|<\left|{\partial x_{i}(\mathbf {p} ,w) \over \partial w}x_{j}(\mathbf {p} ,w)\right|}$	${\displaystyle {\partial x_{i}(\mathbf {p} ,w) \over \partial p_{j}}}$
ケースA	負	正（正常財〈上級財〉）	-	負（通常財（英語版））
ケースB	負	負（劣等財〈下級財〉）	No	負（通常財（英語版））
ケースC	負	負（劣等財〈下級財〉）	Yes	正（ギッフェン財）

ケースAでは、所得効果が正で財iは正常財（上級財）である。このとき、財iは必ず通常財（英語版）となる。つまり、財iの「需要の所得弾力性」が正のとき、財iの「需要の価格弾力性」は必ず負になる。ケースBでは、所得効果が負で財iは劣等財（下級財）である。しかし、代替効果が所得効果を上回っており、財iの「需要の価格弾力性」は負となり、つまり通常財となる。ケースCでは、負の所得効果が代替効果を上回っており、財iの「需要の価格弾力性」は正となり、つまりギッフェン財となる。これにより、ギッフェン財は必ず劣等財である（「需要の価格弾力性」が正の財の「需要の所得弾力性」は必ず負である）ことがわかる^{[注 2]}。

直感的説明

スルツキー方程式は代替効果と所得効果の2つの項からなる。代替効果は財の相対価格の変化の効果によるもので、所得効果は所得が上昇することによる効果である。

価格の上昇による代替効果は、消費者の選択範囲を狭め効用水準を低下させる。価格が上昇すると、予算制約式が内側にシフトし、需要が減少する。反対に、価格が低下すると予算制約式が外側にシフトし、需要が増加する。

• 代替効果：財の相対価格が変化することによる効果。一般的には、相対的に安くなった財への支出が増加し、 相対的に高くなった財への支出が減少する。
• 所得効果：財が正常財（上級財）であれば、所得が増加することでその財への需要が増加する。財が劣等財（下級財）であれば、所得が増加することでその財への需要が減少する。

効用水準は実証的に観測できないため、代替効果は直接測定することができない。しかし、他の2つの項が計測可能であるため、それらを用いて効用水準を間接的に計測できる。このプロセスは、需要変化のヒックス分解とも呼ばれる^[3]。

別の表現

スルツキー方程式は以下のように弾力性を用いて書き直すことができる。

${\displaystyle \epsilon _{p,ij}=\epsilon _{p,ij}^{h}-\epsilon _{w,i}b_{j}}$

ただしε_pはマーシャルの非補償需要の、ε_p^hはヒックスの補償需要の価格弾力性、ε_w,iは、財iの需要の所得弾力性、b_jは財jへの支出額の総支出（予算）における割合である。

この式が意味することは、需要の総変化は所得効果と代替効果で構成され、両方の効果を合わせた需要の変化に等しいということである。つまり、以下のように書ける。

${\displaystyle \Delta x_{1}=\Delta x_{1}^{s}+\Delta x_{1}^{l}}$

脚注

注釈

出典

表 話 編 歴 ミクロ経済学
分野	価格理論 ゲーム理論 契約理論 メカニズム・デザイン 社会選択理論 厚生経済学
価格理論	基本 配分 希少性 機会費用 凸性（英語版） 弾力性 弾力性 代替の弾力性 供給の価格弾力性（英語版） 需要の価格弾力性 需要の所得弾力性 交差弾力性 関数の弾力性（英語版） 弧弾力性（英語版） 財 財 代替財 補完財 独立財 ギッフェン財 ヴェブレン財 正常財 通常財 必需品 贅沢品 自由財 関数形 コブ＝ダグラス型関数 CES型関数 準線形効用関数 線形効用関数（英語版） レオンチェフ型関数 エプスタイン–ジン型選好 トランスログ型関数（英語版） ゴーマン極形型（英語版） 斉次函数 定理/補題 シェパードの補題（英語版） マッケンジーの補題 包絡線定理（英語版） ロワの恒等式 効用 局所非飽和（英語版） 期待効用 危険回避 等弾力的効用関数（英語版） 序数的効用（英語版） 基数的効用（英語版） 市場 完全競争 不完全競争 独占 自然独占 独占的競争 複占 寡占 モノプソニー 消費者 家計 需要の法則（英語版） 選好関係 効用関数 間接効用関数（英語版） 需要関数 マーシャル型需要関数（英語版） ヒックス型需要関数（英語版） 支出関数（英語版） スルツキー方程式 無差別曲線 限界代替率 異時点間選択（英語版） 予算集合（英語版） 効用最大化 ラグランジュの未定乗数法 生産者 企業 生産集合（英語版） 生産可能性フロンティア 生産関数 等量曲線 限界変形率 規模に関する収穫（英語版） 費用最小化 費用関数 可変費用 固定費用 埋没費用 限界費用 平均費用（英語版） 供給関数（英語版） 規模の経済 範囲の経済 利潤最大化 均衡 エッジワース・ボックス・ダイアグラム 契約曲線（英語版） 需要と供給 均衡 一般均衡 部分均衡 パレート効率性 分析 社会的余剰 消費者余剰 生産者余剰 死荷重 厚生経済学の基本定理 ニュメレール（英語版） 等価変分（英語版） 補償変分（英語版） 失敗 市場の失敗 非対称情報 外部性 公共財
ゲーム理論	標準形ゲーム ナッシュ均衡 展開形ゲーム 部分ゲーム完全均衡 提携形ゲーム コア シャプレー値
契約理論	モラル・ハザード 逆選択 スクリーニング シグナリング 不完備契約（英語版）
関連分野	数理経済学 計算機経済学（英語版） 行動経済学 マクロ経済学のミクロ的基礎付け（英語版） 計量経済学 実験経済学 産業組織論 オペレーションズ・リサーチ 最適化理論 解析学 位相幾何学
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