ケプラー方程式 (ケプラーほうていしき)とは、ケプラー問題 [注 1] E と平均近点離角 M の関係を記述する次の超越方程式（英語版） のことである[1]
M = E − e sin E . {\displaystyle M=E-e\sin E.}
この方程式を所与の離心率 e {\displaystyle e} E を平均近点離角 M の関数として求めることで惑星 の軌道上の位置を決定することができる。
歴史 点 M は惑星の位置、点 N は太陽の位置(惑星の楕円軌道の焦点の1つに相当)、点 A は遠日点 をそれぞれ表す。 ケプラー は、1609年 に発表した著書「新天文学」の中で、現在ケプラーの法則 として知られるもののうち、 第1法則(惑星は太陽 を1つの焦点とする楕円軌道 を描く)と第2法則(面積速度 一定の法則)について述べた[3] 微積分学 がなかったため、その数学的な表現は幾何学 的なものである。 ケプラーによる表現では、
t ∝ {\displaystyle t\propto } KHN + 扇形 KHA = 1 2 ( E − e sin E ) , {\displaystyle ={\frac {1}{2}}(E-e\sin E),}
が使われており、これが現在ケプラーの第1、第2法則と呼ばれているものを集約的に表現している (ケプラーは言葉で表現しており数式を使ってはいないが、数式で表現するとこのようになる) [4] t は時刻、 e {\displaystyle e} 離心率 、 E は離心近点離角 を表す。 後に、この式をオイラー は別の表現に書きかえた[4] 公転 周期 T を用いて、等価な式
t T = E − e sin E 2 π , {\displaystyle {\frac {t}{T}}={\frac {E-e\sin E}{2\pi }},}
あるいは、平均角速度 n := 2 π / T {\displaystyle n:=2\pi /T} 平均近点離角 M := n t {\displaystyle M:=nt}
M = E − e sin E , {\displaystyle M=E-e\sin E,}
を用いた[4] ケプラー方程式 と呼んでいる[4] 運動方程式 を数値的に解くことでも各時刻の惑星の位置を決定できるが、ケプラーの時代はそのような手法はなかったので (もちろん、万有引力の法則 も発見されていない)、 まず、惑星の楕円 の軌道の形を定め(つまり、楕円の極座標 表示 r = l / ( 1 + e cos θ ) {\displaystyle r=l/(1+e\cos \theta )} e {\displaystyle e} l を定める)、次にケプラーの方程式を解くことで、各時刻の惑星の位置を決定しなければ ならなかった。つまり、 M と e {\displaystyle e} E がそれらの関数としてどのように書けるかという問題 を解かなければならない。しかし、この方程式は超越方程式であるので厳密解を求めるには工夫がいる。
解法 厳密解を求める方法として2つが知られている。1つは、ラグランジュ の定理を用いる方法、もう1つはベッセル関数 を用いる方法である。
ラグランジュの定理による方法 以下の命題が、陰関数のラグランジュの定理（英語版） である[4] [6]
ラグランジュの定理 ― 1点
a を囲む単一閉曲線
C および
C で囲まれた領域を
D とし、領域
D で正則な関数
g (
z ) を考える。また、
z の関数
| z − a | / g ( z ) {\displaystyle |z-a|/g(z)} の
C 上の最小値を
ρ {\displaystyle \rho } とする。
| z | < ρ {\displaystyle |z|<\rho } であれば、
z = a + ζ g ( z ) {\displaystyle z=a+\zeta g(z)} を満足する
z が
D 内でただ1つ定まり、それを
z ( ζ ) {\displaystyle z(\zeta )} と書くと、
z ( ζ ) {\displaystyle z(\zeta )} は
| ζ | < ρ {\displaystyle |\zeta |<\rho } で
ζ {\displaystyle \zeta } の正則関数である。このとき、
D 内で正則な関数
f (
z ) に対して、
f ( z ) = f ( a ) + ∑ n = 1 ∞ ζ n n ! ∂ n − 1 ∂ a n − 1 ( g n ( a ) f ′ ( a ) ) , {\displaystyle f(z)=f(a)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta ^{n}}{n!}}{\frac {\partial ^{n-1}}{\partial a^{n-1}}}(g^{n}(a)f'(a)),}
が成立する。
ラグランジュの定理は、逆関数 や陰関数 を冪級数 で求める際に使われる[6]
E = e sin M + e 2 2 sin 2 M + ⋯ , {\displaystyle E=e\sin M+{\frac {e^{2}}{2}}\sin 2M+\cdots ,}
が得られる[4] e {\displaystyle e}
ベッセル関数による展開の方法 もう1つの方法は、ベッセル関数による展開の方法である。この方法は e {\displaystyle e}
ケプラーの方程式は、以下の並進で不変であるという特徴を持っている [7]
( M , E ) → ( M + 2 π , E + 2 π ) . {\displaystyle (M,E)\rightarrow (M+2\pi ,E+2\pi ).}
また、 E = M + e sin E {\displaystyle E=M+e\sin E}
e sin E = e sin ( M + e sin E ) = e sin ( M + e sin ( M + e sin E ) ) = ⋯ , {\displaystyle {\begin{aligned}e\sin E&=e\sin(M+e\sin E)\\&=e\sin(M+e\sin(M+e\sin E))\\&=\cdots ,\end{aligned}}}
により、 e sin E {\displaystyle e\sin E} M {\displaystyle M} 周期関数 で、かつ M {\displaystyle M} 奇関数 であることがわかる [8] e sin E {\displaystyle e\sin E} M {\displaystyle M} フーリエ展開 できる[8]
e sin E = ∑ n = 1 ∞ A n sin n M . {\displaystyle e\sin E=\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\sin nM.}
フーリエ係数 A n {\displaystyle A_{n}}
A n = 2 π ∫ 0 π d M e sin E sin n M , {\displaystyle A_{n}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }dMe\sin E\sin nM,}
で与えられる[8]
− 2 n π ∫ d M e sin E d d M cos n M , {\displaystyle -{\frac {2}{n\pi }}\int dMe\sin E{\frac {d}{dM}}\cos nM,}
と変形できるから、部分積分して
− 2 n π [ e sin E cos n M ] M = 0 M = π + 2 n π ∫ 0 π d M e d sin E d M ⋅ cos n M {\displaystyle -{\frac {2}{n\pi }}{\Big [}e\sin E\cos nM{\Big ]}_{M=0}^{M=\pi }+{\frac {2}{n\pi }}\int _{0}^{\pi }dM{\frac {ed\sin E}{dM}}\cdot \cos nM}
である[8]
2 n π ( ∫ 0 π d E cos n M − ∫ 0 π d M cos n M ) , {\displaystyle {\frac {2}{n\pi }}\left(\int _{0}^{\pi }dE\cos nM-\int _{0}^{\pi }dM\cos nM\right),}
を得る[8]
2 n π ∫ 0 π d E cos n ( E − e sin E ) , {\displaystyle {\frac {2}{n\pi }}\int _{0}^{\pi }dE\cos n(E-e\sin E),}
を得る[8] n 次のベッセル関数の積分表示の1つ[9]
J n ( z ) = 1 π ∫ 0 π d θ cos ( z sin θ − n θ ) , {\displaystyle J_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }d\theta \cos(z\sin \theta -n\theta ),}
を用いると、 2 J n ( n e ) / n {\displaystyle 2J_{n}(ne)/n}
E = M + ∑ n = 1 ∞ 2 n J n ( n e ) sin n M , {\displaystyle E=M+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n}}J_{n}(ne)\sin nM,}
が厳密解であることがわかる[8] [10]
別ルートによって同じ結果にたどり着くことも可能である。ケプラーの方程式を微分 して[4]
d E d M = 1 1 − e cos E = 1 + ∑ n = 1 ∞ a n cos n M , a n := 1 π ∫ 0 2 π d M cos n M 1 − e cos E = 1 π ∫ 0 2 π d E cos n ( E − e sin E ) = 2 J n ( n e ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dE}{dM}}&={\frac {1}{1-e\cos E}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nM,\\a_{n}&:={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }dM{\frac {\cos nM}{1-e\cos E}}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }dE\cos n(E-e\sin E)=2J_{n}(ne).\end{aligned}}}
ただし、最初の式の2番目の等号では、 E も M も周期関数(周期 2 π {\displaystyle 2\pi } [4] 積分 すると、
E = M + ∑ n = 1 ∞ 2 n J n ( n e ) sin n M , {\displaystyle E=M+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n}}J_{n}(ne)\sin nM,}
となって、同じ結果が得られた[4]
注 ^ ケプラー予想 のことではなく、惑星の軌道を求める問題 出典 ^ 『ケプラー方程式』 - 天文学辞典（日本天文学会 ） ^ 数学セミナー増刊「数学・物理100の方程式」日本評論社、ISBN 4-535-70409-0、p.134. ^ a b c d e f g h i 「数学・物理100の方程式」p.135. ^ a b 「岩波数学公式Ⅱ」新装版、岩波書店、1987年、ISBN 4-00-005508-9、p.129. ^ G.N.Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions(reprint) , Cambridge University Press, 1996, ISBN 0-521-48391-3, p.552. ^ a b c d e f g G.N.Watson, A Treatise , p.553. ^ 「岩波数学公式Ⅲ」新装版、岩波書店、1987年、ISBN 4-00-005509-7、p.178. ^ 「岩波数学公式Ⅲ」p.215. 参考文献 木下宙『天体と軌道の力学』東京大学出版会、1998年。ISBN 978-4-13-060721-6。 関連項目 ウィキメディア・コモンズには、ケプラー方程式
![{\displaystyle -{\frac {2}{n\pi }}{\Big [}e\sin E\cos nM{\Big ]}_{M=0}^{M=\pi }+{\frac {2}{n\pi }}\int _{0}^{\pi }dM{\frac {ed\sin E}{dM}}\cdot \cos nM}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dd0c234cdf436ad367f5efe45cd4ad45e9d7fd6)
