Trasformazione che preserva la misura

In teoria della misura, una trasformazione che preserva la misura è un particolare tipo di trasformazione misurabile o, più in particolare, di trasformazione non singolare.

Sia ${\displaystyle (X,{\mathcal {A,\mu )}}}$ uno spazio di misura e sia ${\displaystyle S\colon X\to X}$ una trasformazione misurabile. Si dice che la trasformazione ${\displaystyle S}$ preserva la misura se

${\displaystyle \mu (S^{-1}(A))=\mu (A),\;\;\;\forall A\in {\mathcal {A}}.}$

Banalmente, la trasformazione identica ${\displaystyle I}$ su ${\displaystyle (X,{\mathcal {A,\mu )}}}$ preserva la misura. Il teorema del ritorno di Poincaré è valido solo per trasformazioni che preservano la misura.

Sia ${\displaystyle {\mathcal {X}}=\mathbb {R} ^{k}/\mathbb {Z} ^{k}}$ un ${\displaystyle k}$-toro. Presa ${\displaystyle A}$ una matrice invertibile definita su ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ di taglia ${\displaystyle k}$, essa definirà naturalmente una mappa lineare da ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} ^{k}}$ tale che ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{k})\mapsto A(x_{1},\dots ,x_{k})}$. Essendo ${\displaystyle A}$ una matrice a entrate intere, essa mappa ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{k}}$ in sé. A ci permette di definire una mappa ${\displaystyle T_{A}\colon \mathbb {R} ^{k}/\mathbb {Z} ^{k}\to \mathbb {R} ^{k}/\mathbb {Z} ^{k}}$ tale che ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{k})\mapsto A(x_{1},\dots ,x_{k}){\pmod {1}}}$ (ben definita) detta endomorfismo torale lineare; nel caso in cui ${\displaystyle |\det A|=1}$ essa è invertibile dunque un automorfismo.

Sia dunque ${\displaystyle S(x,y)=(x+y,x+2y){\pmod {1}}}$ un diffeomorfismo di Anosov.

Il determinante dello Jacobiano della trasformazione è

${\displaystyle J=\det {\begin{vmatrix}1&1\\1&2\\\end{vmatrix}}=1,}$

dunque la trasformazione preserva la misura.

Gli autovalori della trasformazione ${\displaystyle S}$ sono ${\displaystyle \lambda _{1}={\frac {3}{2}}-{\frac {\sqrt {5}}{2}}}$ e ${\displaystyle \lambda _{1}={\frac {3}{2}}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}}$, con ${\displaystyle 0<\lambda _{1}<1<\lambda _{2}}$.

Il diffeomorfismo quindi "schiaccia" in una direzione ed "espande" nella direzione ad essa ortogonale. Possiamo ottenere l'inversa della trasformazione ${\displaystyle (S^{-1}(x,y)=(2x-y,y-x))}$ e utilizzarla per calcolare esplicitamente l'operatore mediante la formula di cambiamento di variabile per trasformazioni non singolari: ${\displaystyle Pf(x,y)=f(2x-y,y-x){\pmod {1}}.}$ Inoltre ${\displaystyle P1=1}$, quindi ${\displaystyle S}$ preserva la misura di Borel.

La mappa di Gauss ${\displaystyle T(x)={\frac {1}{x}}-\left\lfloor {\frac {1}{x}}\right\rfloor }$, con ${\displaystyle Y=[0,1]\setminus \mathbb {Q} }$, ${\displaystyle T\colon Y\to Y}$, preserva la misura di Gauss ${\displaystyle \mu }$ data da

${\displaystyle \mu (A)={\frac {1}{\log {2}}}\int _{A}^{}{\frac {1}{1+x}}dx}$

per ogni insieme di Borel ${\displaystyle A\subseteq [0,1]}$ misurabile.

${\displaystyle T^{-1}[0,s]=\left\{x|0\leq T(x)\leq s\ \right\}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{s+n}},{\frac {1}{n}}\right]}$

è un'unione disgiunta, quindi

${\displaystyle \mu (T^{-1}[0,s])={\frac {1}{\log {2}}}\sum _{n=1}^{\infty }\int _{\frac {1}{s+n}}^{\frac {1}{n}}{\frac {1}{1+x}}dx}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\log {2}}}\sum _{n=1}^{\infty }\left(\log \left(1+{\frac {1}{n}}\right)-\log \left(1+{\frac {1}{s+n}}\right)\right)}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\log {2}}}\sum _{n=1}^{\infty }\left(\log \left(1+{\frac {s}{n}}\right)-\log \left(1+{\frac {s}{n+1}}\right)\right)}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\log {2}}}\sum _{n=1}^{\infty }\int _{\frac {s}{n+1}}^{\frac {s}{n}}{\frac {1}{1+x}}dx}$

${\displaystyle =\mu ([0,s]).}$

Siano ${\displaystyle (X_{i},{\mathcal {B}}_{i},\mu _{i})}$ spazi di probabilità, con ${\displaystyle i=1,2}$. Sia ${\displaystyle T\colon X_{1}\to X_{2}}$ una trasformazione. Sia ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{2}}$ una semi-algebra che genera ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{2}}$. Allora ${\displaystyle T}$ è misurabile e preserva la misura se e soltanto se per ogni ${\displaystyle A\in {\mathcal {S}}_{2}}$ si ha ${\displaystyle T^{-1}(A)\in {\mathcal {B}}_{1}}$ e ${\displaystyle \mu _{1}(T^{-1}(A))=\mu _{2}(A)}$.

• Andrzej Lasota and Michael C Mackey. Chaos, fractals, and noise: stochastic aspects of dynamics. Springer, second edition, 1994.
• Piermarco Cannarsa and Teresa D’Aprile. Introduzione alla teoria della misura e all’analisi funzionale. Springer, 2008 edition, 2008.
• Michael Brin and Garrett Stuck. Introduction to Dynamical Systems. Cambridge, 2002.

• Spazio di misura
• Funzione misurabile
• Trasformazione non singolare
• Teoria ergodica
• Teorema di ricorrenza di Poincaré

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