Teorema di Van Kampen

In matematica, e più precisamente in topologia algebrica, il teorema di Seifert-Van Kampen è uno dei principali strumenti per il calcolo del gruppo fondamentale di uno spazio topologico. Venne dimostrato indipendentemente da Herbert Seifert ed Egbert van Kampen agli inizi del 1930.

Il teorema afferma che se uno spazio topologico ${\displaystyle X}$ è unione di due aperti ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ che verifichino certe proprietà di connessione allora la struttura del suo gruppo fondamentale è esprimibile in termini dei gruppi fondamentali di ${\displaystyle A,B}$ e dell'intersezione di ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$. In tal modo il teorema permette di calcolare il gruppo fondamentale di uno spazio complicato partendo da gruppi fondamentali di spazi più semplici.

Enunciato

Sia ${\displaystyle X}$ uno spazio topologico, unione di due insiemi aperti

${\displaystyle X=A\cup B}$

tali che tutti e tre gli aperti

${\displaystyle A,B,A\cap B}$

siano connessi per archi. Il teorema di Seifert-Van Kampen asserisce il fatto seguente.

Descrizione tramite presentazioni

Il prodotto amalgamato può essere descritto concretamente usando le presentazioni.

Se i gruppi fondamentali di ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ e ${\displaystyle A\cap B}$ sono descritti come presentazioni

${\displaystyle \pi (A,x_{0})=\langle G_{A}\ |\ R_{A}\rangle ,}$

${\displaystyle \pi (B,x_{0})=\langle G_{B}\ |\ R_{B}\rangle ,}$

${\displaystyle \pi (A\cap B,x_{0})=\langle G\ |\ R\rangle }$

allora il gruppo fondamentale di ${\displaystyle X}$ è descritto dalla presentazione

${\displaystyle \pi (X,x_{0})=\langle G_{A}\cup G_{B}\ |\ R_{A}\cup R_{B}\cup R'\rangle }$

ottenuta affiancando le presentazioni di ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ e aggiungendo delle nuove relazioni ${\displaystyle R'}$. Queste nuove relazioni esprimono il fatto che i lacci contenuti sia in ${\displaystyle A}$ che in ${\displaystyle B}$ sono in realtà uguali. Per definirle occorre introdurre gli omomorfismi

${\displaystyle i_{A}:\pi (A\cap B,x_{0})\rightarrow \pi (A,x_{0}),}$

${\displaystyle i_{B}:\pi (A\cap B,x_{0})\rightarrow \pi (B,x_{0}),}$

indotti dalle inclusioni

${\displaystyle A\cap B\hookrightarrow A,\quad A\cap B\hookrightarrow B.}$

L'insieme ${\displaystyle R'}$ è quindi l'insieme delle relazioni del tipo

${\displaystyle R'=\{i_{A}(g)i_{B}^{-1}(g)\ |\ g\in G\}.}$

Ciascuna di queste relazioni può essere letta nel modo seguente:

${\displaystyle i_{A}(g)=i_{B}(g).}$

Casi particolari

L'enunciato generale del teorema si semplifica in alcuni casi. Ad esempio, nel caso in cui l'intersezione sia semplicemente connessa il prodotto amalgamato si riduce ad un prodotto libero fra gruppi. Come sopra, sia ${\displaystyle X}$ uno spazio topologico, unione di due aperti ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ connessi per archi e con intersezione connessa per archi.

Con il linguaggio delle presentazioni, questo equivale a dire che non compaiono le relazioni aggiunte ${\displaystyle R'}$.

Un altro caso utile è quello in cui uno dei due aperti ${\displaystyle A,B}$ sia semplicemente connesso.

L'enunciato si semplifica ulteriormente se entrambi gli aperti sono semplicemente connessi.

Applicazioni

Sfera

Il teorema di Seifert-Van Kampen può essere usato per calcolare il gruppo fondamentale della sfera ${\displaystyle S^{n}}$ di dimensione ${\displaystyle n>1}$. Siano ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle q}$ due punti antipodali nella sfera. I due aperti

${\displaystyle A=S^{n}\setminus \{p\},\quad B=S^{n}\setminus \{q\},}$

ricoprono la sfera e hanno intersezione connessa per archi (perché ${\displaystyle n>1}$). La proiezione stereografica mostra che ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ sono entrambi omeomorfi a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ e quindi semplicemente connessi. Per il teorema di Seifert-Van Kampen, la sfera ${\displaystyle S^{n}}$ è anch'essa semplicemente connessa.

Si noti che non è necessario che l'intersezione di ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ sia semplicemente connessa per ottenere questo risultato. D'altra parte, è necessario che l'intersezione sia connessa: per ${\displaystyle n=1}$ questa tecnica non funziona e infatti la circonferenza ${\displaystyle S^{1}}$ non è semplicemente connessa.

Bouquet di circonferenze

Sia ${\displaystyle X}$ un bouquet di due circonferenze, ovvero l'unione di due circonferenze ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ nel piano che si intersecano in un punto ${\displaystyle x_{0}}$.

Le circonferenze ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ si intersecano in un punto, che è semplicemente connesso. I gruppi fondamentali di ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ sono entrambi isomorfi a ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Applicando il teorema di Van Kampen a questi due insiemi otterremmo quindi come gruppo fondamentale il prodotto libero

${\displaystyle \mathbb {Z} *\mathbb {Z} .}$

Il procedimento usato non è però del tutto corretto perché ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ non sono aperti. È però possibile sostituire ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ con due loro intorni aperti opportuni in ${\displaystyle X}$ in modo da rendere questo argomento rigoroso.

Il gruppo fondamentale così ottenuto non è abeliano. Il laccio ${\displaystyle ab}$, che si muove prima lungo ${\displaystyle a}$ e poi lungo ${\displaystyle b}$, non è equivalente al laccio ${\displaystyle ba}$.

Toro

Il toro ${\displaystyle T}$ è omeomorfo al prodotto di due circonferenze

${\displaystyle T=S^{1}\times S^{1}}$

ed ha quindi gruppo fondamentale ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$. Questo fatto può essere anche verificato con il teorema di Seifert-Van Kampen come segue.

Il toro può essere rappresentato come spazio quoziente di un quadrato con i lati opposti ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ identificati parallelamente come in figura. Nel toro, i lati ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ diventano due circonferenze. I quattro vertici del quadrato risultano tutti identificati ad un punto ${\displaystyle z}$, che è l'intersezione delle circonferenze ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$. Siano ${\displaystyle y}$ il punto centrale del quadrato e ${\displaystyle x_{0}}$ un altro punto interno.

Si scelgono gli aperti di ${\displaystyle T}$ seguenti:

${\displaystyle A=T\setminus \{y\},\quad B=T\setminus (a\cup b).}$

L'aperto ${\displaystyle B}$ è dato dalla parte interna del quadrato ed è quindi semplicemente connesso. Spingendo i punti di ${\displaystyle A}$ radialmente verso il bordo del quadrato si costruisce una retrazione di deformazione di ${\displaystyle A}$ sull'unione ${\displaystyle a\cup b}$ delle due circonferenze. Quindi il gruppo fondamentale di ${\displaystyle A}$ è il gruppo di un bouquet di due circonferenze. Risulta:

${\displaystyle \pi (A)=\mathbb {Z} *\mathbb {Z} =\langle x,y\rangle ,}$

${\displaystyle \pi (B)=\{e\},}$

${\displaystyle \pi (A\cap B)=\mathbb {Z} =\langle c\rangle .}$

L'intersezione ${\displaystyle A\cap B}$ è infatti omeomorfa ad un quadrato senza un punto, ed il suo gruppo fondamentale è generato dal laccio ${\displaystyle c}$ mostrato in figura. A questo punto il teorema di Seifert-Van Kampen asserisce che

${\displaystyle \pi (T)=\langle x,y\ |\ R\rangle }$

con

${\displaystyle R=\{i_{A}(c)i_{B}(c)^{-1}\}.}$

Sia ${\displaystyle d}$ un arco da ${\displaystyle x_{0}}$ in ${\displaystyle z}$ come in figura. I generatori ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ di ${\displaystyle \pi (T,x_{0})}$ sono rappresentati dai lacci ${\displaystyle dad^{-1}}$ e ${\displaystyle dbd^{-1}}$ rispettivamente. Il laccio ${\displaystyle c}$ è omotopo in ${\displaystyle A}$ a ${\displaystyle daba^{-1}b^{-1}d^{-1}}$ e quindi si ottiene

${\displaystyle i_{A}(c)=daba^{-1}b^{-1}d^{-1}=(dad^{-1})(dbd^{-1})(da^{-1}d^{-1})(db^{-1}d^{-1}).}$

Ne segue che

${\displaystyle i_{A}(c)=xyx^{-1}y^{-1},\quad i_{B}(c)=0.}$

In conclusione

${\displaystyle \pi (T)=\langle x,y\ |\ xyx^{-1}y^{-1}\rangle =\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} .}$

Il termine ${\displaystyle xyx^{-1}y^{-1}}$ è un commutatore e sta a indicare la relazione di commutazione ${\displaystyle xy=yx}$.

Spazio con gruppo fondamentale ciclico finito

Il metodo usato per calcolare il gruppo fondamentale del toro può essere generalizzato a qualsiasi spazio topologico ${\displaystyle X}$ ottenuto identificando i lati di un poligono con ${\displaystyle n}$ lati.

Ad esempio, sia ${\displaystyle X}$ ottenuto identificando ogni lato in senso orario come in figura. Qui si ottiene

${\displaystyle i_{A}(c)=da^{n}d^{-1}=(dad^{-1})^{n}}$

e quindi

${\displaystyle \pi (X)=\langle x\ |\ x^{n}\rangle =\mathbb {Z} _{n}.}$

Lo spazio ${\displaystyle X}$ ha quindi gruppo fondamentale ciclico finito.

Per ${\displaystyle n=2}$ lo spazio ${\displaystyle X}$ è omeomorfo al piano proiettivo reale:

${\displaystyle \pi (\mathbb {P} \mathbb {R} ^{2})=\mathbb {Z} _{2}.}$

Bibliografia

• Czes Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica; Zanichelli
• (EN) William Massey, A basic course in algebraic topology; Springer-Verlag

Voci correlate

• Omotopia
• Gruppo fondamentale
• Gruppo (matematica)

Altri progetti

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su teorema di Van Kampen

V · D · M Topologia
Concetti di Topologia generale	Spazio topologico · Base · Prebase · Ricoprimento · Assiomi di chiusura di Kuratowski · Invariante topologico · Relazione di finezza · Partizione dell'unità · Proprietà dell'intersezione finita Sottoinsiemi Intervallo · Aperto · Intorno · Chiuso · Insieme localmente chiuso · Insieme chiuso-aperto · Parte interna · Chiusura · Frontiera · Insieme derivato · Insieme limite · Insieme perfetto · Insieme denso · Insieme mai denso Punti Punto isolato · Punto di accumulazione · Punto di aderenza Funzioni Funzione continua · Omeomorfismo · Funzione aperta · Funzione chiusa · Funzione propria · Contrazione · Retrazione · Germe di funzione · Funzione a supporto compatto Successioni Limite · Limite di una successione · Successione · Rete · Convergenza · Successione di Cauchy Teoremi Teorema di Weierstrass · Heine-Borel · Tichonov · Lemma del tubo · Urysohn · Tietze · Baire · Brouwer · punto fisso · Teorema di Borsuk · Teorema di Borsuk-Ulam · Teorema della curva di Jordan · Teorema della mappa di Riemann Applicazioni pratiche Topologia dello spazio-tempo · Teoria quantistica dei campi topologica · K-teoria ritorta · Topologia di rete · Controllo della topologia · Topologia molecolare
Spazi topologici	Topologie classiche Topologia banale · Spazio di Sierpiński · Cofinita · Topologia della semicontinuità inferiore · di Zariski · Euclidea · del limite inferiore o di Sorgenfrey · Discreta · Topologia degli interi equispaziati · Insieme reale esteso · Topologia di ordine · Piano di Moore · Topologia p-adica Costruzioni topologiche Topologia prodotto · Topologia di sottospazio · Topologia quoziente · Compattificazione (di Alexandrov · di Stone-Čech) · Cono · Bouquet · Rosa · Sospensione Topologie in Analisi funzionale Spazio funzionale · Topologia iniziale o debole · Topologia operatoriale · Topologia finale o forte · Topologia di Mackey · Topologia polare · Topologie operatoriali debole e forte Altri oggetti topologici Sfera · Palla · Toro · Corpo con manici · Bottiglia di Klein · Bottiglia di Klein solida · Anello · Nastro di Möbius · Retta proiettiva · Piano proiettivo · Superficie di Riemann · Nodo · Nodo torico · Link Frattali Insieme di Cantor · Spazio di Cantor · Polvere di Cantor · Spugna di Menger · Sfera di Alexander · Curva di Peano · Laghi di Wada Strutture miste Spazio vettoriale topologico · Gruppo topologico · Gruppo di Lie · Spazio uniforme · Algebra di Borel
Proprietà degli spazi topologici	Numerabilità Assioma di numerabilità · Spazio primo-numerabile · Spazio separabile · Spazio sequenziale Separazione Assioma di separazione · Spazio T0 · Spazio T1 · Spazio di Hausdorff · Spazio regolare · Spazio di Tichonov · Spazio normale Compattezza Spazio compatto · Spazio paracompatto · Spazio localmente compatto · Spazio di Lindelöf · Sottospazio relativamente compatto · Immersione compatta Connessione Spazio connesso · Spazio semplicemente connesso Metrizzabilità Spazio metrico · Spazio metrico completo · Spazio metrizzabile · Spazio ultrametrico · Spazio pseudometrico · Spazio polacco · Spazio normato · Spazio totalmente limitato Altre proprietà Spazio di Baire · Spazio topologico noetheriano · Spazio omogeneo · Orientazione
Topologia differenziale	Varietà (differenziabile · parallelizzabile · 3-varietà · 3-varietà irriducibile) · Atlante · Diffeomorfismo (locale · di Anosov) · Immersione · Curva · Superficie · Campo vettoriale · Fibrato (principale · vettoriale · Varietà fibrata) · Fibrato tangente · Spazio tangente · Fibrazione di Hopf · Varietà con bordo · Teorema dell'intorno tubolare · Somma connessa · Teorema di Kneser-Milnor · Congettura di geometrizzazione di Thurston · Cobordismo · Dimensione topologica · Topologia in dimensione bassa · Chirurgia di Dehn · Trasversalità · Eversione della sfera · Teoria delle foliazioni · Decomposizione JSJ
Topologia algebrica	Fondamenti Spazio semplicemente connesso · Gruppo fondamentale Omotopia Arco · Nerbo · Omotopia · Gruppi di omotopia Omologia e coomologia Omologia · Omologia singolare · Omologia ciclica · Algebra omologica · Coomologia di De Rham · Categoria abeliana Sollevamento Sollevamento · Teorema del sollevamento dell'omotopia · Teorema di unicità del sollevamento · Teorema di Van Kampen Topologia algebrica avanzata Grado topologico · Indice di avvolgimento · Indice di un campo vettoriale · Rivestimento · Numero di Betti · Successione di Mayer-Vietoris · Successione esatta · Successione spettrale · Complesso simpliciale · Complesso di celle · Complesso di catene · Schema simpliciale Superfici Caratteristica di Eulero · Formula di Eulero per i poliedri · Genere · Taglio · Superficie incompressibile · Classificazione delle superfici · Mapping class group · Teorema della palla pelosa · Teorema di Poincaré-Hopf · Congettura di Poincaré · Congettura di Hodge
Topologi di rilievo	Henri Poincaré · Felix Hausdorff · Georg Cantor · Eduard Čech · John Milnor · Pierre Samuel · Norman Steenrod · René Thom · Samuel Eilenberg · Andrej Nikolaevič Kolmogorov · Stephen Smale · Michael Atiyah · William Thurston · Marston Morse · Luitzen Brouwer