Teorema di Norton

Nell'ambito dei circuiti elettrici, il teorema di Norton è un teorema che afferma che un qualunque circuito lineare, comunque complesso, visto da due nodi A-B è equivalente ad un generatore reale di corrente costituito da un generatore ideale di corrente in parallelo con un resistore: l'equivalenza vale limitatamente alla tensione e alla corrente in corrispondenza dei nodi A-B. Pubblicato nel 1926 da Edward Lawry Norton, ingegnere dei Bell Labs, è il duale del teorema di Thévenin.

Un circuito lineare tra i nodi A-B è equivalente a un generatore reale di corrente la cui corrente impressa ${\displaystyle J_{eq}}$ è pari alla corrente di cortocircuito ai nodi A-B ossia alla corrente che vi circola quando gli stessi vengano cortocircuitati e la cui conduttanza equivalente ${\displaystyle G_{eq}}$ è pari alla conduttanza che la rete presenta sempre in corrispondenza dei nodi A-B quando vengano annullati tutti i suoi generatori tramite la sostituzione dei generatori di tensione con cortocircuiti e dei generatori di corrente con circuiti aperti.

La conduttanza è data dal reciproco della resistenza: ${\displaystyle G={1 \over R}}$.

La conduttanza equivalente ${\displaystyle G_{e}}$ può anche essere ottenuta dalla relazione

• ${\displaystyle G_{e}={J_{eq} \over E_{0}}}$

nella quale ${\displaystyle E_{0}}$ rappresenta la tensione che si manifesta a vuoto in corrispondenza dei nodi A-B quando gli stessi vengano aperti.

Il teorema di Norton può essere facilmente dimostrato facendo leva sul teorema di Thévenin di cui è il duale.

Il teorema di Thévenin afferma che la tensione ${\displaystyle V}$ e la corrente ${\displaystyle I}$ presenti ai nodi A-B del circuito sono legate dalla relazione

• ${\displaystyle V=E_{0}-R_{eq}I}$

dove ${\displaystyle E_{0}}$ è la tensione che si manifesta a vuoto nei nodi A-B ossia quando il circuito venga aperto in corrispondenza degli stessi e dove ${\displaystyle R_{eq}}$ è pari alla resistenza equivalente che si vede dai nodi A-B guardando dentro il circuito dopo aver annullato i generatori in esso presenti.

Se moltiplichiamo entrambi i membri della relazione per ${\displaystyle G_{eq}}$ otteniamo:

• ${\displaystyle VG_{eq}=E_{0}G_{eq}-R_{eq}G_{eq}I}$

Questa formula può essere interpretata come la somma di tre correnti:

• ${\displaystyle J_{G}=VG_{eq}}$: corrente che circola nella conduttanza ${\displaystyle G_{eq}}$ quando nei nodi A-B è presente la tensione ${\displaystyle V}$ dovuta alla presenza del suo normale carico;
• ${\displaystyle J_{eq}=E_{0}G_{eq}}$: corrente che circola nella conduttanza ${\displaystyle G_{eq}}$ quando nei nodi A-B il circuito sia stato aperto;
• ${\displaystyle R_{eq}G_{eq}I=I}$: corrente di carico che circola in corrispondenza dei nodi A-B (${\displaystyle R_{eq}G_{eq}=1}$ essendo l'una il reciproco dell'altra).

Abbiamo quindi:

• ${\displaystyle J_{G}=J_{eq}-I}$

dove ${\displaystyle J_{eq}}$ è proprio quella del generatore di corrente dell'enunciato del teorema di Norton, ${\displaystyle I}$ è la corrente di carico e ${\displaystyle J_{G}}$ è la corrente ${\displaystyle VG_{eq}}$ che circola nella conduttanza equivalente ${\displaystyle G_{eq}}$ a causa della tensione ${\displaystyle V}$. Tale formula si traduce nel circuito di destra della figura sopra riportata (c.v.d.).

Afferma che una rete simbolica tra i nodi A-B è equivalente a un generatore reale simbolico di corrente la cui corrente impressa simbolica ${\displaystyle {\bar {J_{eq}}}}$ è pari al fasore della corrente di cortocircuito ${\displaystyle {\bar {I_{cc}}}}$ e la cui ammettenza equivalente ${\displaystyle {\dot {Y_{eq}}}}$ è pari all'ammettenza che la rete presenta sempre in corrispondenza dei nodi A-B, ovvero al rapporto tra la corrente di cortocircuito${\displaystyle {\bar {I_{cc}}}}$ e la tensione a vuoto ${\displaystyle {\bar {E_{0}}}}$ ai nodi A-B:

• ${\displaystyle {\bar {J_{eq}}}={\bar {I_{cc}}}}$
• ${\displaystyle {\dot {Y}}_{eq}={\dot {Y}}_{i}={{\bar {I_{cc}}} \over {\bar {E_{0}}}}}$

L'ammettenza equivalente è quella risultante ai nodi A-B quando la rete è resa passiva, avendo annullato i suoi generatori ideali simbolici di tensione e di corrente (sono posti uguali a zero tutti i fasori delle tensioni impresse e delle correnti impresse).

Si consideri il circuito in figura di cui si vuole determinare il circuito equivalente di Norton calcolandone la corrente di cortocircuito ${\displaystyle I_{cc}}$ e la resistenza equivalente ${\displaystyle R_{eq}}$.

Per il calcolo della ${\displaystyle I_{cc}}$ si procede nel seguente modo:

1. si cortocircuitano i terminali di uscita;
2. si calcola la corrente che attraversa il cortocircuito la quale sarà pari alla corrente equivalente ${\displaystyle I_{cc}}$.

Per il calcolo della ${\displaystyle R_{eq}}$ si procede nel seguente modo:

1. si annullano i generatori di tensione sostituendoli con dei cortocircuiti e quelli di corrente sostituendoli con un circuito aperto;
2. si calcola la resistenza tra i terminali di uscita la quale sarà pari alla resistenza ${\displaystyle R_{eq}}$.

Il circuito equivalente sarà dunque composto da un generatore ideale di corrente ${\displaystyle I_{cc}}$ in parallelo a una resistenza ${\displaystyle R_{eq}}$, ai cui capi si trovano i terminali di uscita.

Nell'esempio riportato nelle figure a fianco, la corrente ${\displaystyle I_{cc}}$ si calcola come segue:

${\displaystyle I_{\mathrm {tot} }={15\mathrm {V} \over 2\,\mathrm {k} \Omega +(1\,\mathrm {k} \Omega \|(1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega ))}=5,625\mathrm {mA} }$

${\displaystyle I_{cc}={1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )}\cdot I_{\mathrm {tot} }=3,75\mathrm {mA} }$

La resistenza equivalente ${\displaystyle R_{eq}}$ sarà:

${\displaystyle R_{eq}=1\,\mathrm {k} \Omega +(2\,\mathrm {k} \Omega \|(1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega ))=2\,\mathrm {k} \Omega }$

Il circuito equivalente di Norton sarà costituito da un generatore di corrente di 3,75 mA in parallelo a una resistenza di 2 kΩ.

• Teorema di Thévenin
• Ammettenza

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