Ottetto (matematica)

In matematica, gli ottetti (o ottonioni) sono un'estensione non associativa dei quaternioni. L'algebra relativa viene spesso denotata con $\mathbb {O}$ oppure con O.^[1]^[2]

Storia

Furono inventati da John T. Graves nel 1843, e indipendentemente da Arthur Cayley, che pubblicò il primo lavoro su essi nel 1845. Spesso ci si riferisce a essi come ai numeri di Cayley, agli ottetti di Cayley o all'algebra di Cayley.

Operazioni algebriche

Gli ottetti formano un'algebra a 8 dimensioni non associativa sul campo dei numeri reali e si possono quindi manipolare mediante ottuple (sequenze di lunghezza 8) di numeri reali. Lo spazio vettoriale degli ottetti è costituito dalle combinazioni lineari dei seguenti ottetti: 1, e₁, e₂, e₃, e₄, e₅, e₆ e e₇. Questi costituiscono una base di elementi invertibili dell'algebra.

Sommare degli ottetti vuol dire sommare i relativi coefficienti, come per i numeri complessi o per i quaternioni, e più in generale i vettori. La moltiplicazione degli ottetti si ottiene per bilinearità dalla matrice di moltiplicazione degli ottetti di base, la cui tabella è presentata qui sotto. Le sette unità immaginarie e l'unità non costituiscono un gruppo a causa della mancanza di associatività, ma formano comunque un quasigruppo e più precisamente un loop.

·	1	e₁	e₂	e₃	e₄	e₅	e₆	e₇
1	1	e₁	e₂	e₃	e₄	e₅	e₆	e₇
e₁	e₁	−1	e₄	e₇	−e₂	e₆	−e₅	−e₃
e₂	e₂	−e₄	−1	e₅	e₁	−e₃	e₇	−e₆
e₃	e₃	−e₇	−e₅	−1	e₆	e₂	−e₄	e₁
e₄	e₄	e₂	−e₁	−e₆	−1	e₇	e₃	−e₅
e₅	e₅	−e₆	e₃	−e₂	−e₇	−1	e₁	e₄
e₆	e₆	e₅	−e₇	e₄	−e₃	−e₁	−1	e₂
e₇	e₇	e₃	e₆	−e₁	e₅	−e₄	−e₂	−1

Moltiplicazione degli ottetti e Piano di Fano

Lo stesso argomento in dettaglio: Piano di Fano.

Una comoda regoletta mnemonica per ricordare i prodotti degli ottetti unitari è data dal diagramma del piano di Fano composto da sette punti e sette linee (il cerchio tra i, j, k è considerato una linea). Le linee si devono considerare orientate nel diagramma. I sette punti corrispondono alle sette unità immaginarie. Ogni paio di punti distinti giace su un'unica linea e ogni linea passa esattamente da tre punti. Siano (a, b, c) una tripla ordinata di punti giacenti su una data linea con ordine specificato dalla direzione della freccia. La moltiplicazione è data da:

ab = c e ba = −c

soggetta a permutazione ciclica. Questa regola insieme a:

1 è l'identità,
e² = −1 per ogni punto del diagramma, definisce completamente la struttura moltiplicativa degli ottetti. Ognuna delle sette linee genera una sottoalgebra di O isomorfa ai quaternioni H.

In particolare sottoalgebre quaternioniche sono generate dalle unità immaginarie con i seguenti indici:

1,2,4
2,3,5
3,4,6
4,5,7
5,6,1
6,7,2
7,1,3

Rappresentazione "matriciale" degli ottetti

Poiché la moltiplicazione degli ottetti non è associativa, contrariamente a quanto accade per i quaternioni non ne esiste una rappresentazione matriciale. Tuttavia Max Zorn propose una comoda rappresentazione, visivamente simile a quella matriciale, in cui l'ottetto viene decomposto come aggregato di due scalari e due vettori tridimensionali (Algebra di Zorn).

Sia A un generico elemento dell'Algebra di Zorn, detto vettore-matrice o matrice di Zorn:

A={\begin{bmatrix}a&{\vec {b}}\\{\vec {c}}&d\\\end{bmatrix}}

il prodotto tra due elementi dell'algebra di Zorn si definisce:

{\begin{bmatrix}a&{\vec {b}}\\{\vec {c}}&d\\\end{bmatrix}}*{\begin{bmatrix}a'&{\vec {b}}'\\{\vec {c}}'&d'\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}aa'+{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}'&a{\vec {b}}'+{\vec {b}}d'-{\vec {c}}\wedge {\vec {c}}'\\{\vec {c}}a'+d{\vec {c}}'+{\vec {b}}\wedge {\vec {b}}'&dd'+{\vec {c}}\cdot {\vec {b}}'\\\end{bmatrix}}

=AB+{\begin{bmatrix}0&-{\vec {c}}\wedge {\vec {c}}'\\+{\vec {b}}\wedge {\vec {b}}'&0\\\end{bmatrix}}

che corrisponde alla comune moltiplicazione di matrici se si eccettuano i termini di prodotto vettoriale che rendono questa moltiplicazione non-associativa.

Con queste definizioni, si ha che gli ottetti possono essere espressi in forma "matricial-vettoriale" nell'algebra di Zorn. Si ha che un ottetto X può esser messo nella forma:

X={\begin{bmatrix}x+iy&\mathbf {v} +i\mathbf {w} \\-\mathbf {v} +i\mathbf {w} &x-iy\end{bmatrix}}.

dove x e y sono numeri reali e v e w sono vettori in R³. Si noti la somiglianza con la rappresentazione matriciale dei quaternioni:

X={\begin{bmatrix}x+iy&v+iw\\-v+iw&x-iy\end{bmatrix}}.

dove stavolta x,y,v,w sono tutti numeri reali.

Il "determinante" di una matrice di Zorn si definisce come consueto:

\det {\begin{bmatrix}a&\mathbf {b} \\\mathbf {c} &d\end{bmatrix}}=ad-\mathbf {b} \cdot \mathbf {c}

Questo determinante è una forma quadratica dell'algebra di Zorn che soddisfa la regola:

\det(AB)=\det(A)\det(B).

Pertanto il determinante della matrice di Zorn associato ad un ottetto è:

\det {\begin{bmatrix}x+iy&\mathbf {v} +i\mathbf {w} \\-\mathbf {v} +i\mathbf {w} &x-iy\end{bmatrix}}=x^{2}+y^{2}+\mathbf {v} ^{2}+\mathbf {w} ^{2}

ossia la norma al quadrato stessa dell'ottetto.

Proprietà

Gli ottetti forniscono l'unica algebra a dimensione-finita non-associativa definibile sul campo dei numeri reali. Le uniche algebre a dimensione finita associative sono costituite dai numeri reali stessi (algebra monodimensionale), dai numeri complessi (algebra bidimensionale) e dai quaternioni (algebra quadridimensionale). Mentre già con i quaternioni si perde la commutatività della moltiplicazione, gli ottetti perdono anche l'associatività:

\,(ij)l=-i(jl)

In essi comunque non esistono divisori dello zero.

Lo stesso argomento in dettaglio: Dominio di integrità.

Tuttavia essi sono collegati ad alcune strutture matematiche come i gruppi di Lie eccezionali. Il gruppo degli automorfismi (simmetrici) degli ottetti è il gruppo di Lie G2.

Note

^ P. Lounesto, p. 97.
^ I.-R. Porteous, p. 178.

Bibliografia

(EN) P. Lounesto, Clifford Algebras and Spinors, Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-59916-4.
(EN) H.-D. Ebbinghaus et al. (eds.), Numbers, Springer, 1991.
(EN) I.-R. Porteous, Clifford Algebras and the ClassicalGroups, Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-55177-3.