Operatore aggiunto

In analisi funzionale l'aggiunto di un operatore, chiamato anche operatore hermitiano aggiunto o dagato, generalizza il trasposto coniugato di una matrice quadrata al caso infinito dimensionale e il concetto di complesso coniugato di un numero complesso. Ogni operatore lineare limitato su uno spazio di Hilbert ha un corrispondente operatore aggiunto.

Se A è un operatore, l'aggiunto di A si scrive A^* o A^† (l'ultimo soprattutto nella notazione bra-ket).

La definizione di operatore aggiunto si diversifica a seconda che ci si trovi in uno spazio di Hilbert o in uno spazio di Banach.

Siano ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ spazi di Banach e ${\displaystyle T:X\to Y}$ un operatore lineare continuo, e quindi limitato. Si definisce operatore aggiunto di ${\displaystyle T}$ l'operatore lineare limitato ${\displaystyle T':Y^{*}\to X^{*}}$ definito dalla relazione:^[1]

${\displaystyle (T'\phi )(x)=\phi (Tx)\qquad \forall x\in X\quad \forall \phi \in Y^{*}}$

dove l'asterisco denota lo spazio duale.

La mappa che associa un operatore lineare limitato al suo aggiunto è un isomorfismo isometrico tra lo spazio degli operatori lineari limitati da ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle Y}$ allo spazio degli operatori lineari limitati da ${\displaystyle Y^{*}}$ a ${\displaystyle X^{*}}$.^[2] Se la dimensione dello spazio è infinita, tale mappa è continua sia nella topologia operatoriale debole, sia in quella uniforme (indotta dalla norma). Se la dimensione è finita, la mappa è continua solo nella topologia operatoriale forte.^[3]

Sia ${\displaystyle V}$ uno spazio di Hilbert, con prodotto hermitiano ${\displaystyle \langle ,\rangle }$, e sia ${\displaystyle A}$ un operatore lineare continuo in ${\displaystyle V}$. Per ogni ${\displaystyle \mathbf {w} }$ di ${\displaystyle V}$ si definisce il funzionale lineare:

${\displaystyle L_{w}:V\longrightarrow \mathbf {C} }$

tale che:

${\displaystyle L_{w}(\mathbf {v} )=\langle A\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle }$

per ogni ${\displaystyle \mathbf {v} }$ di ${\displaystyle V}$. Si tratta di un operatore continuo poiché ${\displaystyle A}$ è continuo e così pure il prodotto hermitiano.

Se l'operatore è limitato il teorema di rappresentazione di Riesz afferma che esiste un unico elemento ${\displaystyle \mathbf {w} '}$ tale che:^[4]

${\displaystyle \langle A\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} '\rangle }$

Si definisce aggiunto di A l'unico operatore A^* tale che:^[5]

${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,A^{*}\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} '\rangle }$

ovvero:

${\displaystyle \langle A\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,A^{*}\mathbf {w} \rangle }$

Se M è la matrice che rappresenta ${\displaystyle A}$ rispetto ad una base di ${\displaystyle V}$, la matrice che rappresenta ${\displaystyle A^{*}}$ rispetto alla stessa base è la matrice trasposta complessa coniugata di M.^[5]

Vale inoltre il teorema che se l'operatore ${\displaystyle A^{*}}$ è aggiunto di ${\displaystyle A}$ allora:

${\displaystyle \|A\|=\|A^{*}\|}$

L'operatore aggiunto ${\displaystyle A^{*}}$ è dunque tale che:

${\displaystyle \mathbf {w} '=A^{*}\mathbf {w} \ }$

La sua esistenza per gli operatori limitati è garantita dal teorema di Riesz, ed ha la proprietà di essere anch'esso un operatore limitato:

${\displaystyle |\langle A^{*}\mathbf {w} ,\mathbf {v} \rangle |=|\langle \mathbf {w} ,A\mathbf {v} \rangle |\leq \|\mathbf {w} \|\|A\|\|\mathbf {v} \|}$

dalla quale si ha che:

${\displaystyle {\frac {\|A^{*}\mathbf {w} \|}{\|\mathbf {w} \|}}\leq \|A\|}$

Se ${\displaystyle A=A^{*}}$ si dice che tale operatore è autoaggiunto o hermitiano, e si ha:^[6]

${\displaystyle \langle A\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,A\mathbf {w} \rangle }$

Nel caso di operatori non limitati il teorema di rappresentazione di Riesz perde di validità. In tal caso è possibile definire l'operatore aggiunto di operatori densamente definiti, ovvero gli operatori tali per cui la chiusura del dominio coincide con l'intero spazio vettoriale.

Sia ${\displaystyle H}$ uno spazio di Hilbert con prodotto hermitiano ${\displaystyle \langle ,\rangle }$ e sia ${\displaystyle A}$ un operatore lineare densamente definito in ${\displaystyle H}$. Sia ${\displaystyle D(A^{*})}$ l'insieme di tutti gli elementi ${\displaystyle \phi \in H}$ tali per cui esiste ${\displaystyle \eta \in H}$ tale che:

${\displaystyle \langle A\psi ,\phi \rangle =\langle \psi ,\eta \rangle \qquad \forall \psi \in D(A)}$

Per ogni ${\displaystyle \phi \in D(A^{*})}$ si definisce aggiunto di ${\displaystyle A}$ l'operatore ${\displaystyle A^{*}}$ tale che:^[7]

${\displaystyle A^{*}\phi =\eta \ }$

ovvero:

${\displaystyle \langle A\psi ,\phi \rangle =\langle \psi ,A^{*}\phi \rangle }$

Il lemma di Riesz permette inoltre di concludere che ${\displaystyle \phi \in D(A^{*})}$ se e solo se:

${\displaystyle |\langle A\psi ,\phi \rangle |\leq C\|\psi \|\qquad \forall \psi \in D(A)}$

L'aggiunto gode delle seguenti proprietà:^[6]

• ${\displaystyle A^{**}=A\ }$
• Se A è invertibile, lo è anche A* e si ha:

${\displaystyle (A^{*})^{-1}=(A^{-1})^{*}\ }$

• ${\displaystyle (A+B)^{*}=A^{*}+B^{*}\ }$ se A o B sono limitati
• Se ${\displaystyle \lambda }$ è un numero complesso si ha:

${\displaystyle (\lambda A)^{*}=\lambda ^{*}A^{*}\ }$

• ${\displaystyle (AB)^{*}=B^{*}A^{*}\ }$

Inoltre, la relazione tra l'immagine di ${\displaystyle A}$ ed il nucleo dell'aggiunto è data da:

${\displaystyle \ker A^{*}=\left(\operatorname {im} \ A\right)^{\bot }}$

Infatti:

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{*}\mathbf {v} =0&\iff \langle A^{*}\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =0\quad \forall \mathbf {w} \in H\\&\iff \langle \mathbf {v} ,A\mathbf {w} \rangle =0\quad \forall \mathbf {w} \in H\\&\iff \mathbf {v} \ \bot \ \operatorname {im} \ A\end{aligned}}}$

ed inoltre:

${\displaystyle \left(\ker A^{*}\right)^{\bot }={\overline {\operatorname {im} \ A}}}$

che segue dalla prima considerando lo spazio ortogonale per entrambi i membri. L'immagine non è necessariamente un insieme chiuso, mentre lo è il nucleo di un operatore continuo.

Lo spettro ${\displaystyle \sigma (T)}$ ed il risolvente ${\displaystyle R_{\lambda }(T)}$ di un operatore ${\displaystyle T}$ definito su uno spazio di Banach coincidono con quelli del suo aggiunto, mentre in uno spazio di Hilbert si ha che:

${\displaystyle \sigma (T^{*})=\{\lambda :{\bar {\lambda }}\in \sigma (T)\}\qquad R_{\lambda }(T^{*})=R_{\lambda }(T)^{*}}$

Se ${\displaystyle \lambda }$ appartiene allo spettro residuo di ${\displaystyle T}$, allora ${\displaystyle \lambda }$ appartiene allo spettro puntuale dell'aggiunto ${\displaystyle T'}$. Se invece ${\displaystyle \lambda }$ appartiene allo spettro puntuale di ${\displaystyle T}$, allora esso appartiene sia allo spettro puntuale e sia allo spettro residuo di ${\displaystyle T'}$.^[8]

Inoltre, se ${\displaystyle T}$ è autoaggiunto su uno spazio di Hilbert si ha:

• ${\displaystyle T}$ non ha spettro residuo.
• Lo spettro ${\displaystyle \sigma (T)}$ è un sottoinsieme di ${\displaystyle \mathbb {R} }$,ovvero gli autovalori sono reali.
• Autovettori relativi ad autovalori distinti sono ortogonali.

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
• (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

• Operatore (matematica)
• Operatore limitato
• Operatore autoaggiunto
• Operatore lineare continuo
• Operatore unitario