Moto ellittico

Niente fonti!
Questa voce o sezione sull'argomento meccanica non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti.
L'esempio più noto di moto ellittico è quello dei pianeti del sistema Solare attorno al Sole. Nell'immagine sono indicati i parametri caratteristici dell'orbita, con i nomi degli apsidi.

In cinematica, il moto ellittico è il moto di un corpo, o di un punto materiale, lungo una traiettoria ellittica. In generale, un corpo tende ad assumere una traiettoria ellittica quando è sottoposto a una forza centrale.

Analisi del moto e derivazione della traiettoria

Definendo il momento meccanico specifico il vettore:

c = r × a {\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {r} \times \mathbf {a} }

Nel caso di moto centrale, si ha che r {\displaystyle \mathbf {r} } e a {\displaystyle \mathbf {a} } risultano paralleli, quindi c = 0 {\displaystyle \mathbf {c} =0} . Poiché il polo rispetto al quale è calcolato c {\displaystyle \mathbf {c} } coincide con il centro di massa, il quale può essere supposto fermo, si ha che il momento meccanico specifico è pari alla derivata prima rispetto al tempo del momento angolare specifico h {\displaystyle \mathbf {h} } :

d h d t = d d t ( r × v ) = c = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {h} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {r} \times \mathbf {v} )=\mathbf {c} =0}

dunque si ha che h {\displaystyle \mathbf {h} } è costante, in accordo con la seconda legge di Keplero. La velocità areolare A ˙ {\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}} è pari a:

A ˙ = r × v 2 = r × ( ω × r ) 2 = ( r ⋅ r ) ω − ( ω ⋅ r ) r 2 = r 2 ω 2 {\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{2}}={\frac {\mathbf {r} \times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )}{2}}={\frac {(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} ){\boldsymbol {\omega }}-{\cancel {({\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {r} }}}{2}}={\frac {r^{2}{\boldsymbol {\omega }}}{2}}}

dove ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} è la velocità angolare.

Sapendo che in coordinate polari si ha:

θ = arctan ⁡ y x , r 2 = x 2 + y 2 ; θ ˙ = ω = 1 1 + ( y x ) 2 ( x y ˙ − x ˙ y x 2 ) = x 2 x 2 + y 2 ( x y ˙ − x ˙ y x 2 ) = x y ˙ − x ˙ y x 2 + y 2 r 2 ω = x y ˙ − x ˙ y ( x 2 + y 2 ) ( x 2 + y 2 ) = x y ˙ − x ˙ y {\displaystyle {\begin{aligned}&\theta =\arctan {\frac {y}{x}},\quad r^{2}=x^{2}+y^{2};\\[4pt]&{\dot {\theta }}=\omega ={\frac {1}{1+\left({\frac {y}{x}}\right)^{2}}}\left({\frac {x{\dot {y}}-{\dot {x}}y}{x^{2}}}\right)={\frac {\cancel {x^{2}}}{x^{2}+y^{2}}}\left({\frac {x{\dot {y}}-{\dot {x}}y}{\cancel {x^{2}}}}\right)={\frac {x{\dot {y}}-{\dot {x}}y}{x^{2}+y^{2}}}\\[4pt]&r^{2}\omega ={\frac {x{\dot {y}}-{\dot {x}}y}{\cancel {(x^{2}+y^{2})}}}{\cancel {(x^{2}+y^{2})}}=x{\dot {y}}-{\dot {x}}y\\[4pt]\end{aligned}}}

mentre l'ellisse in coordinate polari è:

{ x = a cos ⁡ θ y = b sin ⁡ θ ⟹ { x ˙ = − a ω sin ⁡ θ y ˙ = b ω cos ⁡ θ {\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x=a\cos \theta \\&y=b\sin \theta \\\end{aligned}}\right.\implies \left\{{\begin{aligned}&{\dot {x}}=-a\omega \sin \theta \\&{\dot {y}}=b\omega \cos \theta \\\end{aligned}}\right.}

Pertanto si ottiene che il valore della velocità areolare è:

A ˙ = r 2 ω 2 = x y ˙ − x ˙ y 2 = a b ω 2 ( cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ ) = a b ω 2 {\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}={\frac {r^{2}{\boldsymbol {\omega }}}{2}}={\frac {x{\dot {y}}-{\dot {x}}y}{2}}={\frac {ab{\boldsymbol {\omega }}}{2}}(\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta )={\frac {ab{\boldsymbol {\omega }}}{2}}}

mentre il valore del momento angolare orbitale specifico h {\displaystyle \mathbf {h} } diventa:

h = 2 A ˙ = a b ω {\displaystyle \mathbf {h} =2{\dot {\mathbf {A} }}=ab{\boldsymbol {\omega }}}

Essendo h {\displaystyle \mathbf {h} } costante, anche A ˙ {\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}} e ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} sono costanti e ciò consente di ottenere due equazioni lineari rispetto allo spostamento angolare θ {\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}} e allo spostamento areolare A {\displaystyle \mathbf {A} } :

θ ( t ) = θ 0 + h a b t A ( t ) = A 0 + h 2 t {\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {\theta }}(t)={\boldsymbol {\theta }}_{0}+{\frac {\mathbf {h} }{ab}}t\\[4pt]&\mathbf {A} (t)=\mathbf {A} _{0}+{\frac {\mathbf {h} }{2}}t\\[4pt]\end{aligned}}}

Le equazioni del moto in coordinate cartesiane sono:

r = { x = a cos ⁡ ( h a b t + θ 0 ) y = b sin ⁡ ( h a b t + θ 0 ) ⟹ v = { x ˙ = − h b sin ⁡ ( h a b t + θ 0 ) y ˙ = h a cos ⁡ ( h a b t + θ 0 ) ⟹ a = { x ¨ = − h 2 a b 2 cos ⁡ ( h a b t + θ 0 ) y ¨ = h 2 a 2 b sin ⁡ ( h a b t + θ 0 ) {\displaystyle \mathbf {r} =\left\{{\begin{aligned}&x=a\cos \left({\frac {h}{ab}}t+\theta _{0}\right)\\[4pt]&y=b\sin \left({\frac {h}{ab}}t+\theta _{0}\right)\\[4pt]\end{aligned}}\right.\implies \mathbf {v} =\left\{{\begin{aligned}&{\dot {x}}=-{\frac {h}{b}}\sin \left({\frac {h}{ab}}t+\theta _{0}\right)\\[4pt]&{\dot {y}}={\frac {h}{a}}\cos \left({\frac {h}{ab}}t+\theta _{0}\right)\\[4pt]\end{aligned}}\right.\implies \mathbf {a} =\left\{{\begin{aligned}&{\ddot {x}}=-{\frac {h^{2}}{ab^{2}}}\cos \left({\frac {h}{ab}}t+\theta _{0}\right)\\[4pt]&{\ddot {y}}={\frac {h^{2}}{a^{2}b}}\sin \left({\frac {h}{ab}}t+\theta _{0}\right)\\[4pt]\end{aligned}}\right.}

ciò significa che l'accelerazione coincide con l'accelerazione centripeta a c {\displaystyle \mathbf {a} _{c}} , che è pari a:

a c = ( h a b ) 2 r {\displaystyle \mathbf {a} _{c}=\left({\frac {h}{ab}}\right)^{2}\mathbf {r} }

È possibile osservare che nel caso di moto circolare, essendo a = b = r {\displaystyle a=b=r} , il valore dell'accelerazione centripeta sia pari a:

a c = ω 2 r {\displaystyle \mathbf {a} _{c}=\omega ^{2}\mathbf {r} }

Bibliografia

  • P. Mazzoldi, M. Nigro, C. Voci, Fisica - Volume I (seconda edizione), Napoli, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1.

Voci correlate

  Portale Meccanica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di meccanica