In matematica, in particolare in algebra lineare, la matrice dei cofattori di una matrice quadrata
di ordine
, detta anche matrice dei complementi algebrici, è un'altra matrice quadrata di ordine
il cui elemento nella posizione generica
è il cofattore (o complemento algebrico) di
relativo alla posizione
, così definito:
![{\displaystyle \mathrm {cof} _{i,j}(A):=(-1)^{i+j}\cdot \det(A_{i,j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8bb3f375287e749ae16064dbdb44e5951a7c4f6)
qui il termine
rappresenta il minore di
ottenuto cancellando la riga
-esima e la colonna
-esima.
Quindi la matrice dei cofattori è la seguente:
![{\displaystyle \mathrm {cof} \,A={\begin{pmatrix}\mathrm {cof} _{1,1}(A)&\ldots &\mathrm {cof} _{1,n}(A)\\\vdots &\ddots &\vdots \\\mathrm {cof} _{n,1}(A)&\ldots &\mathrm {cof} _{n,n}(A)\\\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c06659714a69eb73aa2e15890fd104cd4d51128)
Matrice aggiunta
La trasposta della matrice dei cofattori è detta matrice aggiunta (benché questo termine indichi anche la matrice trasposta coniugata) ed è indicata con l'operatore
, dall'inglese adjoint matrix.
Quindi:
![{\displaystyle \mathrm {adj} \,A=(\mathrm {cof} \,A)^{T}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7656f70c81a390bc5f3092c274b72abec23e2f9c)
Proprietà
La matrice aggiunta soddisfa le proprietà seguenti:
, dove
è la matrice identità ![{\displaystyle \mathrm {adj} (A\cdot B)=\mathrm {adj} (B)\cdot \mathrm {adj} (A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52989a84cfb32d10377fe96d25f9939958a3270e)
![{\displaystyle A\cdot \mathrm {adj} (A)=\mathrm {adj} (A)\cdot A=\det(A)\cdot I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fb4de6c40950e6fce1e02544ed29bb50f32651b)
conseguenza dello sviluppo di Laplace. Quindi se
è invertibile, l'inversa è data da:
![{\displaystyle A^{-1}=\det(A)^{-1}\cdot \mathrm {adj} (A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2bd965cc6a264d18799bccc2276f4f4c77642f7)
![{\displaystyle \det(\mathrm {adj} (A))\,=\,\det(A)^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69d18f1b102a8c6bf92e34797e006b1fcf9b5eb4)
Casi particolari
Matrice 2 × 2
L'aggiunta della matrice
![{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/493f5ae78f7a6c90982d33f44edcf74679abbd00)
è la matrice
![{\displaystyle \operatorname {adj} (A)={\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da7c1660821f0c904c7ef0b9d737cda81ab21dd0)
Si noti che
![{\displaystyle \det(\operatorname {adj} (A))=\det(A)=ad-bc}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b65cbc6fc9fd6af9fb0ab9dd7b89cf7d2dcf707)
e che
![{\displaystyle \operatorname {adj} (\operatorname {adj} (A))=A.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/808dc4e9d78e4efc6f727886fb5400772cc97414)
Matrice 3 × 3
Data la matrice
![{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0f8f52cb4f4d277fdac9abcfc86697c655be82b)
la sua matrice aggiunta è uguale alla trasposta della matrice dei cofattori
![{\displaystyle \operatorname {adj} (A)=(\mathrm {cof} \,\mathbf {A} )^{T}={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f149010249ccfc29d51ff4e531c2f539a66d2838)
dove
![{\displaystyle \left|{\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right|=\det \left({\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right)=a_{im}a_{jn}-a_{in}a_{jm}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59c07c1f977ff96aa03375b6f4a161f3656814c1)
Esempi numerici
Sia data la matrice
. Utilizzando la formula precedente, la sua aggiunta è data da
![{\displaystyle \operatorname {adj} (A)=(\mathrm {cof} \,A)^{T}={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}5&6\\8&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}4&6\\7&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&3\\7&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}4&5\\7&8\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&2\\7&8\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-3&6&-3\\6&-12&6\\-3&6&-3\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f105eefed70002eff6b81012555828e9838a0fbb)
Un secondo esempio è il seguente:
![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}2&1&1\\0&-1&2\\0&2&-1\end{pmatrix}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59a803c3a89cdae6981cb6c067dd01df0a3f93fc)
![{\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}-3&3&3\\0&-2&-4\\0&-4&-2\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/996c7f543d88ed112a9e67e196a729404bc9f368)
Bibliografia
- (EN) Gilbert Strang, Section 4.4: Applications of determinants, in Linear Algebra and its Applications, 3rd, Harcourt Brace Jovanovich, 1988, pp. 231–232, ISBN 0-15-551005-3.
Voci correlate
- Determinante
- Matrice
- Matrice invertibile
- Matrice trasposta
- Minore (algebra lineare)
Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Self-Adjoint, in MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) Matrix Reference Manual, su ee.ic.ac.uk.
- (EN) Online matrix calculator (determinant, track, inverse, adjoint, transpose) Compute Adjugate matrix up to order 8
- (EN) adjugate of { { a, b, c }, { d, e, f }, { g, h, i } }, su Wolfram Alpha.
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