Formula prodotto di Eulero

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La formula prodotto di Eulero o più semplicemente il prodotto di Eulero è una formula dimostrata da Leonhard Euler nel 1737.[1]

ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s = ∏ p  primo 1 1 − p − s {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ primo}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}

dove ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} è la funzione zeta di Riemann e il prodotto del secondo membro dell'uguaglianza percorre tutti i numeri primi.

Questa formula è interessante in quanto mette in relazione una serie in cui compaiono tutti i numeri naturali e un prodotto in cui compaiono tutti i numeri primi. È all'origine del collegamento tra funzione zeta di Riemann e numeri primi che si presenta nell'ipotesi di Riemann.

Dimostrazioni

Prima Dimostrazione

Partiamo dalla funzione zeta:

ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s + ⋯ {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }

se moltiplichiamo entrambi i termini per 1 2 s {\displaystyle {\frac {1}{2^{s}}}} abbiamo che:

1 2 s ζ ( s ) = 1 2 s + 1 4 s + 1 6 s + 1 8 s + ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{2^{s}}}\zeta (s)={\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{6^{s}}}+{\frac {1}{8^{s}}}+\cdots }

Sottraendo la seconda espressione dalla prima:

( 1 − 1 2 s ) ζ ( s ) = 1 + 1 3 s + 1 5 s + 1 7 s + ⋯ {\displaystyle \left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+\cdots }

In questa serie non compaiono denominatori pari.
Moltiplicando per il primo termine (dopo l'uno) rimasto si ottiene:

1 3 s ( 1 − 1 2 s ) ζ ( s ) = 1 3 s + 1 9 s + 1 15 s + 1 21 s + ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{3^{s}}}\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)={\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+{\frac {1}{15^{s}}}+{\frac {1}{21^{s}}}+\cdots }

Sottraendo l'ultima alla penultima espressione, abbiamo che:

( 1 − 1 3 s ) ( 1 − 1 2 s ) ζ ( s ) = 1 + 1 5 s + 1 7 s + 1 11 s + ⋯ {\displaystyle \left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}+\cdots }

In questo procedimento abbiamo eliminato, prima tutti i multipli di due poi tutti i multipli del primo numero rimasto cioè tre, se poi lo facciamo di nuovo con cinque vedremo eliminati tutti i multipli di cinque:

( 1 − 1 5 s ) ( 1 − 1 3 s ) ( 1 − 1 2 s ) ζ ( s ) = 1 + 1 7 s + 1 11 s + 1 13 s + ⋯ {\displaystyle \left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}+{\frac {1}{13^{s}}}+\cdots }

Stiamo progressivamente eliminando tutti i multipli di ogni numero rimasto dopo l'uno (e che quindi è un numero primo visto che non è multiplo di nessun altro numero più piccolo). I numeri del prodotto prima dell'uguale quindi saranno tutti primi. Quindi ripetendo infinite volte il procedimento:

⋯ ( 1 − 1 11 s ) ( 1 − 1 7 s ) ( 1 − 1 5 s ) ( 1 − 1 3 s ) ( 1 − 1 2 s ) ζ ( s ) = 1 {\displaystyle \cdots \left(1-{\frac {1}{11^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{7^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1}

E in conclusione:

ζ ( s ) = 1 ( 1 − 1 2 s ) 1 ( 1 − 1 3 s ) 1 ( 1 − 1 5 s ) 1 ( 1 − 1 7 s ) ⋯ = ∏ p 1 1 − p − s {\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{7^{s}}}\right)}}\cdots =\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}

Q.E.D

Seconda Dimostrazione

si può considerare il termine

1 1 − p − s {\displaystyle {\frac {1}{1-p^{-s}}}}

come il numero a cui converge la serie geometrica

∑ n = 0 ∞ 1 ( p s ) n = 1 + 1 p s + 1 p 2 s + 1 p 3 s + 1 p 4 s + ⋯ = 1 1 − p − s {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(p^{s})^{n}}}=1+{\frac {1}{p^{s}}}+{\frac {1}{p^{2s}}}+{\frac {1}{p^{3s}}}+{\frac {1}{p^{4s}}}+\cdots ={\frac {1}{1-p^{-s}}}}

Quindi il prodotto di Eulero diviene:

∏ p 1 1 − p − s = ( 1 + 1 2 s + 1 2 2 s + 1 2 3 s + ⋯ ) ( 1 + 1 3 s + 1 3 2 s + 1 3 3 s + ⋯ ) ( 1 + 1 5 s + 1 5 2 s + 1 5 3 s + ⋯ ) ⋯ {\displaystyle \prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}=\left(1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{2^{2s}}}+{\frac {1}{2^{3s}}}+\cdots \right)\left(1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{3^{2s}}}+{\frac {1}{3^{3s}}}+\cdots \right)\left(1+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{5^{2s}}}+{\frac {1}{5^{3s}}}+\cdots \right)\cdots }

E svolgendolo

∏ p 1 1 − p − s = ( 1 + 1 ( 1 ⋅ 2 ) s + 1 ( 1 ⋅ 3 ) s + 1 ( 1 ⋅ 5 ) s + ⋯ ) + ( 1 ( 1 ⋅ 2 2 ) s + 1 ( 1 ⋅ 3 2 ) s + 1 ( 1 ⋅ 5 2 ) s + ⋯ ) + ⋯ {\displaystyle \prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}=\left(1+{\frac {1}{(1\cdot 2)^{s}}}+{\frac {1}{(1\cdot 3)^{s}}}+{\frac {1}{(1\cdot 5)^{s}}}+\cdots \right)+\left({\frac {1}{(1\cdot {2^{2}})^{s}}}+{\frac {1}{(1\cdot {3^{2}})^{s}}}+{\frac {1}{(1\cdot {5^{2}})^{s}}}+\cdots \right)+\cdots }
+ ( 1 ( 2 ⋅ 3 ) s + 1 ( 2 ⋅ 5 ) s + 1 ( 2 ⋅ 7 ) s + ⋯ ) + ( 1 ( 2 2 ⋅ 3 2 ) s + 1 ( 2 2 ⋅ 5 2 ) s + 1 ( 2 2 ⋅ 7 2 ) s + ⋯ ) + ⋯ {\displaystyle +\left({\frac {1}{(2\cdot 3)^{s}}}+{\frac {1}{(2\cdot 5)^{s}}}+{\frac {1}{(2\cdot 7)^{s}}}+\cdots \right)+\left({\frac {1}{({2^{2}}\cdot {3^{2}})^{s}}}+{\frac {1}{({2^{2}}\cdot {5^{2}})^{s}}}+{\frac {1}{({2^{2}}\cdot {7^{2}})^{s}}}+\cdots \right)+\cdots }
+ ( 1 ( 3 ⋅ 5 ) s + 1 ( 3 ⋅ 7 ) s + 1 ( 3 ⋅ 11 ) s + ⋯ ) + ( + 1 ( 3 2 ⋅ 5 2 ) s + 1 ( 3 2 ⋅ 7 2 ) s + 1 ( 3 2 ⋅ 11 2 ) s + ⋯ ) + ⋯ {\displaystyle +\left({\frac {1}{(3\cdot 5)^{s}}}+{\frac {1}{(3\cdot 7)^{s}}}+{\frac {1}{(3\cdot 11)^{s}}}+\cdots \right)+\left(+{\frac {1}{({3^{2}}\cdot {5^{2}})^{s}}}+{\frac {1}{({3^{2}}\cdot {7^{2}})^{s}}}+{\frac {1}{({3^{2}}\cdot {11^{2}})^{s}}}+\cdots \right)+\cdots }

È chiaro che nel termine a destra dell'uguale appariranno prima o poi tutte le possibili combinazioni di numeri primi possibili (e a qualsiasi potenza). Per il teorema fondamentale dell'aritmetica abbiamo che queste combinazioni forniscono tutti i numeri naturali. Possiamo dunque riordinare i termini così:

∏ p 1 1 − p − s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s + ⋯ {\displaystyle \prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }

Quindi:

∏ p 1 1 − p − s = ∑ n = 1 ∞ 1 n s {\displaystyle \prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}

Q.E.D

Infiniti numeri primi

Tramite questa formula Eulero diede una dimostrazione dell'infinità dei numeri primi. Infatti se si inserisce nella formula il numero 1 si ha:

∑ n = 1 ∞ 1 n = ∏ p 1 1 − p − 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-1}}}}

E siccome la somma nel primo membro è la serie armonica, che diverge, anche il prodotto deve farlo. Ma ciò è possibile solo se i suoi membri sono infiniti e quindi se esistono infiniti numeri primi.

Generalizzazione

Attraverso le dimostrazioni si può generalizzare questa formula per ogni funzione moltiplicativa a(x):

∑ n a ( n ) n s   = ∏ p P ( p , s )   {\displaystyle \sum _{n}{\frac {a(n)}{n^{s}}}\ =\prod _{p}P(p,s)\ }

Dove P(p,s) è la serie:

1 + a ( p ) p − s + a ( p 2 ) p − 2 s + ⋯ . {\displaystyle 1+a(p)p^{-s}+a(p^{2})p^{-2s}+\cdots .}

Esempi

Moltissime funzioni possono essere espresse con il prodotto di Eulero. Queste funzioni danno origine a prodotti molto simili a quello sopra illustrato per la funzione zeta di Riemann. Capita dunque di trovare collegamenti tra queste serie di funzioni e la funzione zeta. Ad esempio:

Il prodotto di Eulero per la funzione di Moebius μ ( n ) {\displaystyle \mu (n)}  :

∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n − s = ∏ p ( 1 − p − s ) = 1 ζ ( s ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (n)n^{-s}=\prod _{p}(1-p^{-s})={\frac {1}{\zeta (s)}}} .

E quello per il suo valore assoluto:

∑ n = 1 ∞ | μ ( n ) | n − s = ∏ p ( 1 + p − s ) = ζ ( s ) ζ ( 2 s ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|\mu (n)|n^{-s}=\prod _{p}(1+p^{-s})={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}} .

Il prodotto per la funzione di Liouville:

∑ n = 1 ∞ λ ( n ) n − s = ∏ p ( 1 + p − s ) − 1 = ζ ( 2 s ) ζ ( s ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\lambda (n)n^{-s}=\prod _{p}(1+p^{-s})^{-1}={\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}} .

E altri che utilizzano la funzione zeta come:

∑ n = 1 ∞ 2 ω ( n ) n − s = ∏ p ( 1 + p − s 1 − p − s ) = ζ ( s ) 2 ζ ( 2 s ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{\omega (n)}n^{-s}=\prod _{p}{\Big (}{\frac {1+p^{-s}}{1-p^{-s}}}{\Big )}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}}

Dove ω ( n ) {\displaystyle \omega (n)} è il numero di fattori primi distinti di n

E anche

∑ n = 1 ∞ σ ( n ) n s = ζ ( s ) ζ ( s − 1 ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (s-1)}

dove σ ( n ) {\displaystyle \sigma (n)} è la somma di tutti i divisori di n {\displaystyle n} ( 1 {\displaystyle 1} e n {\displaystyle n} compresi).

Note

  1. ^ Apostol, p. 230.

Bibliografia

  • (EN) Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, New York, Springer-Verlag, 1976, ISBN 0-387-90163-9.
  • John Derbyshire, L'ossessione dei numeri primi, Bollati Boringhieri, 2006, ISBN 88-339-1706-1

Voci correlate

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