Folium di Cartesio

Folium di Cartesio per a=1
Il Folium di Cartesio può essere rappresentato dall'intersezione tra una funzione del tipo f ( x , y ) = x 3 + y 3 − 3 a x y {\displaystyle f(x,y)=x^{3}+y^{3}-3axy} e il piano z = 0

Il Folium di Cartesio è una curva di equazione:

x 3 + y 3 − 3 a x y = 0 {\displaystyle x^{3}+y^{3}-3axy=0}

La curva presenta nell'origine un nodo con tangenti coincidenti con gli assi coordinati.

Storia

Nel gennaio 1638 Cartesio, in una lettera a Mersenne, la propose come curva in cui non era applicabile il metodo delle tangenti di Fermat. Nell'agosto dello stesso anno Fermat rispose dimostrando il contrario e chiamando tale curva "feuille" (foglia). I primi però a chiamarla "folium di Cartesio" furono De Moivre e d'Alembert rispettivamente su "Storia dell´Accademia delle Scienze" e su "Enciclopedia metodica".

Parametrizzazione

Le coordinate parametriche sono: { x = 3 a t 1 + t 3 y = 3 a t 2 1 + t 3 {\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}x=\displaystyle {\frac {3at}{1+t^{3}}}\\y=\displaystyle {\frac {3at^{2}}{1+t^{3}}}\end{array}}\right.}

Equazione polare

L'equazione polare è: r = 3 a sec ⁡ ( θ ) tan ⁡ ( θ ) 1 + tan 3 ⁡ ( θ ) = 3 a sin ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ ) cos 3 ⁡ ( θ ) + sin 3 ⁡ ( θ ) {\displaystyle r={\dfrac {3a\sec(\theta )\tan(\theta )}{1+\tan ^{3}(\theta )}}={\dfrac {3a\sin(\theta )\cos(\theta )}{\cos ^{3}(\theta )+\sin ^{3}(\theta )}}}

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Collegamenti esterni

  • Cartesio, folium di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013. Modifica su Wikidata
  • (EN) Eric W. Weisstein, Folium di Cartesio, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
  • IL FOLIUM DI CARTESIO, su progettomatematica.dm.unibo.it. URL consultato il 22/02/2010.
  • Richard L. Amoroso: Fe, Fi, Fo, Folium: A Discourse on Descartes’ Mathematical Curiosity (PDF), su mindspring.com. URL consultato il 31 agosto 2010 (archiviato dall'url originale il 29 febbraio 2012).
  • "Folium of Descartes" at MacTutor's Famous Curves Index, su www-history.mcs.st-andrews.ac.uk.
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