Sumbu semimayor

Sumbu mayor suatu elips adalah diameter terpanjangnya, yaitu garis yang membentang melintasi pusat dan kedua fokusnya, garis ini berakhir pada titik terlebar benda tersebut. Sumbu semi-mayor besarnya satu setengah sumbu mayor, dan membentang dari pusat, melintasi fokus, hingga pinggiran elips; singkatnya, sumbu semi-mayor adalah ukuran radius suatu orbit yang diambil pada dua titik terjauh orbit tersebut. Pada lingkaran, sumbu semi-mayornya adalah radius lingkaran. Sumbu semi-mayor bisa pula dianggap sebagai radius panjang elips.

Panjang sumbu semi-mayor a suatu elips berkaitan dengan panjang sumbu semi-minor b melintasi eksentrisitas e dan rektum semi-latus ℓ, sebagai berikut:

${\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}},\,}$

${\displaystyle \ell =a(1-e^{2}),\,}$

${\displaystyle a\ell =b^{2}.\,}$

Sumbu semi-mayor hiperbola adalah, tergantung konvensinya, ditambah atau dikurang satu setengah jarak antara kedua cabang. Hasilnya adalah jarak dari pusat menuju verteks (titik balik) hiperbola.

Sebuah parabola bisa diperoleh sebagai limit urutan elips ketika satu fokus menjadi tetap sementara lainnya dimungkinkan bergerak mennjauh dalam satu arah, sehingga ℓ tetap. Hasilnya ${\displaystyle a\,\!}$ dan ${\displaystyle b\,\!}$ cenderung tidak terbatas, a lebih cepat daripada b.

Elips

Sumbu semi-mayor adalah nilai rata-rata jarak terkecil dan terbesar dari satu fokus ke titik-titik di elips. Gunakan persamaan dalam koordinat kutub, dengan satu fokus di asal dan fokus lainnya di sumbu-x positif,

${\displaystyle r(1-e\cos \theta )=\ell .\,}$

Nilai rata-rata ${\displaystyle r={\ell \over {1+e}}\,\!}$ dan ${\displaystyle r={\ell \over {1-e}}\,\!}$, (untuk ${\displaystyle \theta =\pi \,{\text{dan}}\,\theta =0}$) adalah

${\displaystyle a={\ell \over 1-e^{2}}.\,}$

Pada elips, sumbu semi-mayornya adalah rata-rata geometri jarak dari pusat menuju fokus dan jarak dari pusat ke direktriks.

Hiperbola

Sumbu semi-mayor hiperbola adalah, tergantung konvensinya, ditambah atau dikurang satu setengah jarak antara kedua cabang; jika sumbu semi-mayornya adalah adalah a di arah-x, maka persamaannya adalah:

${\displaystyle {\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1.}$

Dalam hal rektum semi-latus dan eksentrisitas, rumusnya

${\displaystyle a={\ell \over e^{2}-1}.}$

Sumbu lintang suatu hiperbola sama dengan sumbu semi-mayor.^[1]

Referensi

Pranala luar

• Semi-major and semi-minor axes of an ellipse With interactive animation