Rentang linear

Dalam aljabar linear, rentang linear atau span dari sebarang himpunan ${\displaystyle S}$ berisi vektor-vektor (yang berasal dari suatu ruang vektor) adalah himpunan semua kombinasi linear dari vektor-vektor di ${\displaystyle S.}$^[1] Rentang linear dari ${\displaystyle S}$ umum disimbolkan dengan ${\displaystyle {\text{span}}(S).}$^[2] Sebagai contoh, dua vektor yang saling bebas linear akan merentang suatu bidang. Rentang dapat dikarakterisasikan sebagai irisan dari semua subruang (vektor) yang mengandung ${\displaystyle S,}$ maupun sebagai subruang yang mengandung ${\displaystyle S.}$ Alhasil, rentang dari himpunan vektor menghasilkan suatu ruang vektor. Rentang dapat diperumum untuk matroid dan modul.

Untuk menyatakan bahwa suatu ruang vektor ${\displaystyle V}$ adalah rentang linear dari subset ${\displaystyle S,}$ beberapa pernyataan berikut umum digunakan: ${\displaystyle S}$ merentang ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle S}$ adalah himpunan merentang dari ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle V}$ direntang/dibangkitkan oleh ${\displaystyle S,}$ atau ${\displaystyle S}$ adalah pembangkit atau himpunan pembangkit dari ${\displaystyle V.}$

Definisi

Untuk sebarang ruang vektor ${\displaystyle V}$ atas lapangan ${\displaystyle K,}$ rentang dari suatu himpunan ${\displaystyle S}$ yang beranggotakan vektor-vektor (tidak harus berhingga) didefinisikan sebagai irisan ${\displaystyle W}$ dari semua subruang dari ${\displaystyle V}$ yang mengandung ${\displaystyle S.}$ Irisan ${\displaystyle W}$ disebut sebagai subruang yang direntang oleh ${\displaystyle S,}$ atau oleh vektor-vektor di ${\displaystyle S.}$ Kebalikannya, ${\displaystyle S}$ disebut himpunan merentang dari ${\displaystyle W}$, dan kita katakan ${\displaystyle S}$ merentang ${\displaystyle W.}$

Rentang dari ${\displaystyle S}$ juga dapat didefinisikan sebagai himpunan dari semua kombinasi linear terhingga dari vektor-vektor di ${\displaystyle S.}$^[3][4][5][6] Secara matematis, ini dituliskan sebagai

Pada kasus ${\displaystyle S}$ berukuran tak-hingga, syarat kombinasi linear yang tak-terhingga (yakni, keadaan ketika kombinasi menggunakan konsep penjumlahan tak-hingga, dengan mengasumsikan penjumlahan seperti itu dapat didefinisikan) tidak disertakan dalam definisi.

Contoh

Ruang vektor riil ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ dapat direntang oleh himpunan ${\displaystyle \{(-1,0,0),\,(0,1,0),\,(0,0,1)\}}$. Himpunan ini juga merupakan suatu basis dari ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Jika ${\displaystyle (-1,0,0)}$ digantikan dengan ${\displaystyle (1,0,0)}$, himpunan tersebut merupakan basis standar dari ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Contoh himpunan pembangkit lain dari ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ adalah ${\displaystyle \{(1,2,3),\,(0,1,2),\,(-1,{\tfrac {1}{2}},3),\,(1,1,1)\}}$, namun himpunan ini bukan basis karena bersifat bergantung linear.

Himpunan ${\displaystyle \{(1,0,0),\,(0,1,0),\,(1,1,0)\}}$ bukan himpunan merentang dari ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, karena rentangnya adalah subruang semua vektor di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ yang komponen terakhirnya bernilai ${\displaystyle 0.}$ Subruang tersebut juga direntang oleh himpunan ${\displaystyle \{(1,0,0),\,(0,1,0)\},}$ karena ${\displaystyle (1,1,0)}$ adalah kombinasi linear dari ${\displaystyle (1,0,0)}$ dan ${\displaystyle (0,1,0).}$

Himpunan kosong adalah himpunan merentang dari ${\displaystyle \{(0,0,0)\},}$ karena himpunan kosong adalah subset dari semua subruang vektor yang mungkin di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$ dan ${\displaystyle \{(0,0,0)\}}$ adalah irisan dari semua subruang tersebut.

Himpunan semua monomial ${\displaystyle x^{n},}$ dengan ${\displaystyle n}$ adalah bilangan bulat non-negatif, merentang ruang polinomial.

Teorema

Kesetaraan antar definisi

Untuk sebarang ruang vektor ${\displaystyle V}$ atas lapangan ${\displaystyle K,}$ himpunan semua kombinasi linear dari subset ${\displaystyle S}$ dari ${\displaystyle V,}$ adalah subruang terkecil dari ${\displaystyle V}$ yang mengandung ${\displaystyle S.}$

Bukti. Pertama kita tunjukkan bahwa ${\displaystyle {\text{span}}(S)}$ adalah subruang dari ${\displaystyle V.}$ Karena ${\displaystyle S}$ adalah subset dari ${\displaystyle V,}$ kita cukup membuktikan bahwa vektor ${\displaystyle \mathbf {0} }$ anggota dari ${\displaystyle {\text{span}}(S),}$ bahwa ${\displaystyle {\text{span}}(S)}$ dibawah penjumlahan, dan bahwa ${\displaystyle {\text{span}}(S)}$ tertutup dibawah perkalian skalar. Misalkan ${\displaystyle S=\{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}}$, mudah ditunjukkan bahwa vektor nol di ${\displaystyle V}$ ada di ${\displaystyle {\text{span}}(S),}$ karena ${\displaystyle \mathbf {0} =0\mathbf {v} _{1}+0\mathbf {v} _{2}+\cdots +0\mathbf {v} _{n}.}$ Menjumlahkan sebarang dua kombinasi linear dari ${\displaystyle S}$ akan menghasilkan kombinasi linear dari ${\displaystyle S:}$

$${\displaystyle (\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})+(\mu _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\mu _{n}\mathbf {v} _{n})=(\lambda _{1}+\mu _{1})\mathbf {v} _{1}+\cdots +(\lambda _{n}+\mu _{n})\mathbf {v} _{n},}$$

dengan semua ${\displaystyle \lambda _{i},\mu _{i}\in K}$, dan mengalikan sebarang kombinasi linear dari ${\displaystyle S}$ dengan sebarang skalar ${\displaystyle c\in K}$ akan menghasilkan kombinasi linear dari ${\displaystyle S:}$

$${\displaystyle c(\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})=c\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}.}$$

Alhasil, ${\displaystyle {\text{span}}(S)}$ adalah subruang dari ${\displaystyle V.}$

Misalkan ${\displaystyle W}$ adalah subruang ${\displaystyle V}$ yang mengandung ${\displaystyle S.}$ Perhatikan bahwa ${\displaystyle S\subseteq \operatorname {span} S,}$ karena semua ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ merupakan kombinasi linear dari ${\displaystyle S}$ (secara langsung). Karena ${\displaystyle W}$ tertutup dibawah penjumlahan dan perkalian skalar, maka setiap kombinasi linear ${\displaystyle \lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}}$ harus berada di ${\displaystyle W.}$ Akibatnya, ${\displaystyle {\text{span}}(S)}$ terkandung di semua subruang dari ${\displaystyle V}$ yang mengandung ${\displaystyle S.}$ Lebih lanjut, irisan semua subruang tersebut, yakni subruang terkecil, sama dengan himpunan semua kombinasi linear dari ${\displaystyle S.}$

Kardinalitas himpunan merentang setidaknya sebesar himpunan bebas linear

Sebarang himpunan ${\displaystyle S}$ yang merentang ruang vektor ${\displaystyle V}$ harus memiliki anggota setidaknya sebanyak jumlah anggota pada sebarang himpunan bebas linear dari ${\displaystyle V.}$

Bukti. Misalkan ${\displaystyle S=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}\}}$ adalah suatu himpunan merentang dan ${\displaystyle W=\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}\}}$ adalah himpunan vektor-vektor yang saling bebas linear di ${\displaystyle V.}$ Kita akan menunjukkan bahwa ${\displaystyle m\geq n.}$

Karena ${\displaystyle S}$ merentang ${\displaystyle V,}$ maka ${\displaystyle S\cup \{\mathbf {w} _{1}\}}$ juga harus merentang ${\displaystyle V,}$ dan ${\displaystyle \mathbf {w} _{1}}$ harus merupakan hasil kombinasi linear dari ${\displaystyle S.}$ Akibatnya ${\displaystyle S\cup \{\mathbf {w} _{1}\}}$ bergantung linear, dan kita dapat membuat satu vektor dari ${\displaystyle S}$ yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi anggota ${\displaystyle S}$ lainnya. Vektor ini tidak mungkin ${\displaystyle \mathbf {w} _{i}}$ karena ${\displaystyle W}$ bebas linear. Himpunan yang dihasilkan proses ini adalah ${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{i-1},\mathbf {v} _{i+1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}\},}$ yang merupakan himpunan merentang bagi ${\displaystyle V.}$ Kita ulangi proses ini sebanyak ${\displaystyle n}$ kali, yang tahap ke-${\displaystyle p}$-nya akan menghasilkan himpunan hasil gabungan ${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{p}\}}$ dan ${\displaystyle m-p}$ vektor dari ${\displaystyle S.}$

Dapat dipastikan sampai tahap ke-${\displaystyle n}$ akan selalu ada suatu ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ untuk dibuang dari ${\displaystyle S}$, akibatnya ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ setidaknya sama banyaknya dengan ${\displaystyle \mathbf {w} _{i}}$; dengan kata lain, ${\displaystyle m\geq n.}$ Untuk membuktikan hal ini, kita menggunakan bukti kontradiksi dengan menganggap ${\displaystyle m<n.}$ Saat tahap ke-${\displaystyle m}$, kita memiliki himpunan ${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}$ dan kita dapat menambahkan vektor baru ${\displaystyle \mathbf {w} _{m+1}.}$ Tapi karena ${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}$ adalah himpunan merentang dari ${\displaystyle V,}$ vektor ${\displaystyle \mathbf {w} _{m+1}}$ adalah kombinasi linear dari ${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}$. Ini adalah kontradiksi, karena ${\displaystyle W}$ bersifat bebas linear.

Himpunan merentang dapat disederhanakan menjadi suatu basis

Misalkan ${\displaystyle V}$ adalah ruang vektor dimensi terhingga. Sebarang himpunan vektor yang merentang ${\displaystyle V}$ dapat disederhanakan menjadi suatu basis bagi ${\displaystyle V,}$ dengan membuang vektor dari keanggotaannya jika diperlukan (maksudnya, ketika ada vektor yang bergantung linear pada vektor-vektor lainnya). Jika aksioma pemilihan berlaku, teorema ini juga berlaku untuk kasus ${\displaystyle V}$ berdimensi tak-hingga. Teorema ini juga mengartikan sebarang basis adalah himpunan merentang terkecil, ketika ${\displaystyle V}$ berdimensi hingga.

Catatan kaki

Daftar pustaka

Buku

• Axler, Sheldon Jay (2015). Linear Algebra Done Right (edisi ke-3rd). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0. 
• Hefferon, Jim (2020). Linear Algebra (edisi ke-4th). Orthogonal Publishing. ISBN 978-1-944325-11-4. 
• Lane, Saunders Mac; Birkhoff, Garrett (1999) [1988]. Algebra (edisi ke-3rd). AMS Chelsea Publishing. ISBN 978-0821816462. 
• Roman, Steven (2005). Advanced Linear Algebra (edisi ke-2nd). Springer. ISBN 0-387-24766-1. 
• Rynne, Brian P.; Youngson, Martin A. (2008). Linear Functional Analysis. Springer. ISBN 978-1848000049. 
• Lay, David C. (2021) Linear Algebra and Its Applications (6th Edition). Pearson.

Situs web

• Lankham, Isaiah; Nachtergaele, Bruno; Schilling, Anne (13 February 2010). "Linear Algebra - As an Introduction to Abstract Mathematics" (PDF). University of California, Davis. Diakses tanggal 27 September 2011. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. "Vector Space Span". MathWorld. Diakses tanggal 16 Feb 2021. 
• "Linear hull". Encyclopedia of Mathematics. 5 April 2020. Diakses tanggal 16 Feb 2021. 

Pranala luar

• Linear Combinations and Span: Understanding linear combinations and spans of vectors, khanacademy.org.
• Sanderson, Grant (August 6, 2016). "Linear combinations, span, and basis vectors". Essence of Linear Algebra. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021-12-11 – via YouTube.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)