Grup automorfisme

Dalam matematika, grup automorfisme dari sebuah objek X adalah grup yang terdiri dari automorfisme dari X . Misalnya, jika X adalah dimensi hingga ruang vektor, maka grup automorfisme dari X adalah grup linier umum dari X , grup transformasi linear yang dapat dibalik dari X menjadi dirinya sendiri.

Khususnya dalam konteks geometris, grup automorfisme disebut juga sebagai grup simetri. Sebuah subgrup dari grup automorfisme disebut grup transformasi (terutama dalam literatur lama).

Contoh

Grup automorfisme dari himpunan X adalah grup simetris dari X .
A homomorfisme grup ke grup automorfisme dari himpunan X sama dengan aksi grup pada X : memang, setiap kiri G , trivial pada satu himpunan X menentukan $G\to \operatorname {Aut} (X),\,g\mapsto \sigma _{g},\,\sigma _{g}(x)=g\cdot x$ , dan, sebaliknya, setiap homomorfisme $\varphi :G\to \operatorname {Aut} (X)$ mendefinisikan aksi dengan $g\cdot x=\varphi (g)x$ .
Misalkan $A,B$ menjadi dua himpunan terbatas dari kardinal yang sama dan $\operatorname {Iso} (A,B)$ himpunan dari semua bijeksi $A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B$ . Kemudian $\operatorname {Aut} (B)$ , yang merupakan kelompok simetris (lihat di atas), bertindak $\operatorname {Iso} (A,B)$ dari kiri bebas dan secara transitif; artinya, $\operatorname {Iso} (A,B)$ adalah torsor untuk $\operatorname {Aut} (B)$ (lih. #Dalam kategori teori).
Grup automorfisme $G$ dari grup siklik dari urutan n adalah isomorfis ke $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*}$ dengan isomorfisme yang diberikan oleh ${\overline {a}}\mapsto \sigma _{a}\in G,\,\sigma _{a}(x)=x^{a}$ .^[1] Secara khusus, $G$ adalah grup abelian.
Diberikan ekstensi bidang $L/K$ , grup automorfisme adalah grup yang terdiri dari automorfisme bidang L yang fix K : itu lebih dikenal sebagai grup Galois dari $L/K$ .
Grup automorfisme dari proyektif n - spasi di atas bidang k adalah grup linear proyektif $\operatorname {PGL} _{n}(k).$ ^[2]
Grup automorfisme dari aljabar Lie riil berdimensi-hingga] ${\mathfrak {g}}$ memiliki struktur (nyata) grup kebohongan (sebenarnya, ini bahkan grup aljabar linear: lihat di bawah). Jika G adalah grup Lie dengan aljabar Lie ${\mathfrak {g}}$ , maka grup automorfisme dari G memiliki struktur grup Lie yang diinduksi dari grup automorphism dari ${\mathfrak {g}}$ .^[3]^[4]
Misalkan P menjadi dihasilkan secara terbatas modul proyektif di atas gelanggang R . Maka melekatkan $\operatorname {Aut} (P)\hookrightarrow \operatorname {GL} _{n}(R)$ , unique up to inner automorphisms.^[5]

Dalam teori kategori

Grup automorfisme muncul secara alami dalam teori kategori.

Jika X adalah objek dalam kategori, maka grup automorfisme dari X adalah grup yang terdiri dari semua morfisme yang dapat dibalik dari X untuk dirinya sendiri. Ini adalah grup unit dari monoid endomorfisma dari X . (Untuk beberapa contoh, lihat PROP.)

Jika $A,B$ adalah objek dalam beberapa kategori, maka himpunan $\operatorname {Iso} (A,B)$ dari semua $A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B$ adalah kiri $\operatorname {Aut} (B)$ -torsi. Dalam istilah praktis, ini mengatakan bahwa pilihan yang berbeda dari titik dasar $\operatorname {Iso} (A,B)$ dibedakan secara jelas oleh elemen dari $\operatorname {Aut} (B)$ , atau bahwa setiap pilihan titik dasar justru merupakan pilihan penyederhanaan torsi.

Jika $X_{1}$ dan $X_{2}$ adalah objek dalam kategori $C_{1}$ dan $C_{2}$ , dan jika $F:C_{1}\to C_{2}$ adalah functor memetakan $X_{1}$ ke $X_{2}$ , kemudian $F$ menginduksi homomorfisme grup $\operatorname {Aut} (X_{1})\to \operatorname {Aut} (X_{2})$ , karena memetakan morfisme yang dapat dibalik menjadi morfisme yang dapat dibalik.

Secara khusus, jika G adalah grup yang dilihat sebagai kategori dengan satu objek * atau, lebih umum, jika G adalah groupoid, maka setiap functor $G\to C$ , C kategori, disebut aksi atau representasi G pada objek $F(*)$ , or the objects $F(\operatorname {Obj} (G))$ . Objek-objek itu kemudian dikatakan sebagai objek $G$ (sebagaimana mereka ditindaklanjuti $G$ ); lih. $\mathbb {S}$ -object. Jika $C$ adalah kategori modul seperti kategori ruang vektor berdimensi-hingga, maka $G$ -objek juga disebut $G$ -modul.

Funktor grup automorfisme

Misalkan $M$ menjadi ruang vektor berdimensi-hingga di atas bidang k yang dilengkapi dengan beberapa struktur aljabar (yaitu, M adalah aljabar berdimensi-hingga di atas k ). Ini bisa berupa, misalnya, aljabar asosiatif atau aljabar Lie.

Sekarang, pertimbangkan k - peta linear $M\to M$ yang mempertahankan struktur aljabar: mereka membentuk subruang vektor $\operatorname {End} _{\text{alg}}(M)$ dari $\operatorname {End} (M)$ . Grup unit dari $\operatorname {End} _{\text{alg}}(M)$ adalah grup automorfisme $\operatorname {Aut} (M)$ . Ketika basis pada M dipilih, $\operatorname {End} (M)$ adalah ruang dari matriks kuadrat dan $\operatorname {End} _{\text{alg}}(M)$ adalah himpunan nol dari beberapa polinomial, dan pembalikan dijelaskan lagi oleh polinomial. Karenanya, $\operatorname {Aut} (M)$ adalah grup aljabar linear di atas k .

Sekarang ekstensi dasar yang diterapkan pada diskusi di atas menentukan sebuah funktor:^[6] yaitu, untuk setiap gelanggang komutatif R di atas k , pertimbangkan R -peta linear $M\otimes R\to M\otimes R$ melestarikan struktur aljabar: dilambangkan dengan $\operatorname {End} _{\text{alg}}(M\otimes R)$ . Kemudian grup unit gelanggang matriks $\operatorname {End} _{\text{alg}}(M\otimes R)$ lebih R adalah grup automorfisme $\operatorname {Aut} (M\otimes R)$ dan $R\mapsto \operatorname {Aut} (M\otimes R)$ adalah fungsi grup: fungsi dari kategori gelanggang komutatif di atas k ke kategori grup. Lebih baik lagi, ini diwakili oleh skema (karena grup automorfisme ditentukan oleh polinomial): skema ini disebut skema grup automorfisme dan dilambangkan dengan $\operatorname {Aut} (M)$ .

Secara umum, bagaimanapun, sebuah fungsi grup automorfisme mungkin tidak diwakili oleh skema.

Lihat pula

Grup automorfisme luar
Struktur level, trik untuk grup automorfisme
Grup Holonomi

Referensi

^ Dummit & Foote 2004, § 2.3. Exercise 26.
^ Hartshorne 1977, Ch. II, Example 7.1.1.
^ Hochschild, G. (1952). "The Automorphism Group of a Lie Group". Transactions of the American Mathematical Society. 72 (2): 209–216. JSTOR 1990752.
^ (following Fulton & Harris 1991, Exercise 8.28.) Pertama, jika G hanya terhubung, grup automorfisme dari G adalah ${\mathfrak {g}}$ . Kedua, setiap grup Lie yang terhubung berbentuk ${\widetilde {G}}/C$ dimana ${\widetilde {G}}$ adalah grup Lie yang terhubung sederhana dan C adalah subgrup pusat dan grup automorfisme G adalah grup automorfisme dari $G$ yang mempertahankan C . Ketiga, berdasarkan konvensi, grup Lie dapat dihitung kedua dan memiliki paling banyak komponen yang terhubung; dengan demikian, kasus umum direduksi menjadi casing yang terhubung.
^ Milnor 1971, Lemma 3.2.
^ Waterhouse 2012, § 7.6.

Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (edisi ke-3rd). Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7.
Templat:Fulton-Harris
Templat:Hartshorne AG
Milnor, John Willard (1971). Introduction to algebraic K-theory. Annals of Mathematics Studies. 72. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 9780691081014. MR 0349811. Zbl 0237.18005. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-08-09. Diakses tanggal 2020-12-24.
Waterhouse, William C. (2012) [1979]. Introduction to Affine Group Schemes. Graduate Texts in Mathematics. 66. Springer Verlag. ISBN 9781461262176. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-08-09. Diakses tanggal 2020-12-24.