Diagram komutatif

Dalam matematika, khususnya dalam bidang aljabar dan teori kategori, suatu diagram dikatakan sebagai diagram komutatif jika untuk suatu objek ${\displaystyle A}$ dan ${\displaystyle B}$, setiap lintasan yang berawal di ${\displaystyle A}$ dan berakhir di ${\displaystyle B}$ sama.^[1] Diagram komutatif adalah alat yang banyak digunakan dalam studi teori kategori untuk meninjau suatu identitas berlaku dalam komposisi morfisma ^[2]

Definisi

Suatu diagram komutatif terdiri atas:

• Objek
• Morfisma (atau panah)
• Lintasan atau komposisi morfisma

Dalam berbagai referensi aljabar, umum digunakan notasi berikut untuk panah:

• Monomorfisma dengan ${\displaystyle \hookrightarrow }$
• Epimorfisma dengan ${\displaystyle \twoheadrightarrow }$
• Isomorfisma dengan ${\displaystyle {\overset {\sim }{\rightarrow }}}$
• Jika panah yang digunakan digambar dengan garis putus-putus, umumnya panah tersebut melambangkan suatu morfisma yang diklaim ada (misalnya dalam suatu teorema); panah tersebut sering kali diberi label ${\displaystyle \exists }$ untuk menekankan eksistensinya
  • Jika morfisma yang diklaim tersebut tunggal, umumnya diberi label ${\displaystyle \exists !}$

Morfisma atau panah dalam diagram komutatif juga dapat didefinisikan antar panah, seperti yang umum dilakukan dalam teori kategori

Istilah

Dalam buku-buku matematika, umumnya digunakan ungkapan "diagram berikut komutatif"

Contoh

Dalam teori grup, misalkan ${\displaystyle G,H}$ suatu grup dengan operasi ${\displaystyle \circ _{G}}$dan ${\displaystyle \circ _{H}}$ serta ${\displaystyle f:G\rightarrow H}$ suatu pemetaan antara himpunan untuk grup ${\displaystyle G}$ dan ${\displaystyle H}$. Andaikan ${\displaystyle f}$ adalah suatu homomorfisma grup, diagram berikut komutatif:^[3]

dengan pemetaan ${\displaystyle f\times f}$ didefinisikan secara per-komponen sebagai

${\displaystyle f\times f:(a,b)\mapsto (f(a),f(b))}$

untuk sebarang ${\displaystyle a,b\in G}$. Dengan kata lain, jika diagram tersebut komutatif berlaku ${\displaystyle f(a\circ _{G}b)=f(a)\circ _{H}f(b)}$, yang mana sesuai dengan definisi homomorfisma grup pada umumnya.

Contoh lainnya adalah pada Lemma Snake. Pada suatu kategori abel dengan diagram komutatif

yang memiliki barisan eksak di tiap barisnya serta 0 adalah objek nol (objek inisial sekaligus objek terminal pada suatu kategori), terdapat barisan eksak

${\displaystyle \ker a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker c~{\overset {d}{\longrightarrow }}~\operatorname {coker} a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} c}$

sehingga diagram berikut komutatif:

Diagram Sebagai Fungtor

Misalkan ${\displaystyle {\mathcal {I}},{\mathcal {C}}}$ suatu kategori dan ${\displaystyle F:{\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ suatu fungtor dari kategori ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ke kategori ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. Suatu diagram komutatif dapat dipandang sebagai fungtor ${\displaystyle F}$ dan kategori ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ disebut sebagai kategori indeks.

Sebaliknya, untuk sebarang diagram komutatif, dapat dikonstruksi suatu kategori dengan setiap objek pada diagram menjadi objek dari kategorinya, adanya morfisma antara dua objek yang didefinisikan dari eksistensi lintasan antara dua objek, serta morfismanya ada secara tunggal (berdasarkan fakta bahwa diagram tersebut komutatif).

Referensi

Pranala luar

• Commutative Diagram di nLab