Simpson-módszer

A Simpson módszer lényegében az f (x) (kék) függvényt a P (x) (piros) függvénynyel közelíti .

A numerikus analízisben a Simpson-módszer egy numerikus integrálási módszer, amellyel a határozott integrál numerikus értékét közelítjük meg, mégpedig a következő képlettel:

∫ a b f ( x ) d x ≈ b − a 6 [ f ( a ) + 4 f ( a + b 2 ) + f ( b ) ] {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right]} .

A módszer Thomas Simpson (1710–1761) angol matematikus munkája.

Levezetés

A Simpson-módszert többféleképpen is levezethetjük.

Középpont és trapéz szabály

Lényegében az

∫ a b f ( x ) d x : {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx:}

az f (x) függvény x tengellyel bezárt területét jelenti. Ezt a területet megközelíthetjük kétféleképpen, mégpedig a középpont-szabállyal:

M = ( b − a ) f ( a + b 2 ) {\displaystyle M=(b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right)}

és a trapéz-szabállyal:

T = 1 2 ( b − a ) ( f ( a ) + f ( b ) ) . {\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}(b-a)(f(a)+f(b)).}

A közelítés úgy lesz a legpontosabb, ha a következő súlyozott közepet vesszük:

2 M + T 3 . {\displaystyle {\frac {2M+T}{3}}.}

S ha elvégezzük a szükséges számításokat, akkor megkapjuk a Simpson szabályt.

Algoritmus

A függvény, amit integrálni szeretnénk: f ( x ) = e x {\displaystyle f(x)=e^{x}} , a [ 0 , 5 ] {\displaystyle [0,5]} intervallumon, 10-es felosztással. 

import math
def Fx(x):
    return math.exp(x)
def SimpsonIntegralas(a,b,n):
    h=(b-a)/n
    x=a+h
    s=0.0
    for i in range (1, n/2, 1):
        s=s+2*Fx(x)+Fx(x+h)
        x=x+2*h
    return h/3*(2*s+Fx(a)+Fx(b)+4*Fx(b-h))
print 'Simpsonintegral:', SimpsonIntegralas(0.0,5.0,10)

Az algoritmus a 147.4628 értéket adja vissza, míg a pontos érték a: 147.4131

3/8 Simpson-módszer

Ez a módszer egy pontosabb numerikus integrálási módszer, amelyet szintén Thomas Simpson javasolt. Itt a következőképpen közelítjük meg az integrált:

∫ a b f ( x ) d x ≈ 3 h 8 [ f ( a ) + 3 f ( 2 a + b 3 ) + 3 f ( a + 2 b 3 ) + f ( b ) ] = ( b − a ) 8 [ f ( a ) + 3 f ( 2 a + b 3 ) + 3 f ( a + 2 b 3 ) + f ( b ) ] . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {3h}{8}}\left[f(a)+3f\left({\frac {2a+b}{3}}\right)+3f\left({\frac {a+2b}{3}}\right)+f(b)\right]={\frac {(b-a)}{8}}\left[f(a)+3f\left({\frac {2a+b}{3}}\right)+3f\left({\frac {a+2b}{3}}\right)+f(b)\right].}

Ez a módszer körülbelül kétszer olyan pontos, mint a hagyományos, de felhasznál még egy függvényértéket.

Hivatkozások

  • Atkinson, Kendall A.. An Introduction to Numerical Analysis, 2nd, John Wiley & Sons (1989). ISBN 0-471-50023-2 
  • Burden, Richard L. and Faires, J. Douglas. Numerical Analysis, 7th, Brooks/Cole (2000). ISBN 0-534-38216-9 
  • Matthews, John H.: Simpson's 3/8 Rule for Numerical Integration. Numerical Analysis - Numerical Methods Project. California State University, Fullerton, 2004. [2008. december 4-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2008. november 11.)
  • Press, William H., Brian P. Flannery, William T. Vetterling, and Saul A. Teukolsky. Numerical Recipes in Pascal: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press (1989). ISBN 0521375169 
  • Süli, Endre and Mayers, David. An Introduction to Numerical Analysis. Cambridge University Press (2003). ISBN 0-521-81026-4 (hardback), ISBN 0-521-00794-1 (paperback) 
  • Numerical Methods with Applications, 2008.
  • Weisstein, Eric W.: Newton-Cotes Formulas. MathWorld--A Wolfram Web Resource.. MathWorld, 2010. (Hozzáférés: 2010. augusztus 2.)

További információk

  • Weisstein, Eric W.: Simpson's Rule (angol nyelven). Wolfram MathWorld
  • Simpson's Rule for Numerical Integration
  • Application of Simpson's Rule - Earthwork Excavation
  • Simpson's 1/3rd rule of integration - Notes, PPT, Mathcad, Matlab, Mathematica, Maple at Numerical Methods for STEM undergraduate