Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker-metrika

A Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker-metrika (FLRW) az Einstein-egyenletek egy egzakt megoldása az általános relativitáselméletben.

Időtől és helytől függően több más néven is nevezték ezt a metrikát a négy független felfedezőjéről; Alexander Friedmann, Georges Lemaître, Howard Percy Robertson és Arthur Geoffrey Walker – néhány példa: Friedmann–Robertson–Walker- (FRW) vagy Robertson–Walker- (RW) vagy Friedmann–Lemaître-metrika (FL). Ezt az Univerzum megoldást szokás Standard Modellnek is nevezni a kozmológiában.

Az általános metrika

Az FLRW metrika homogén és izotrop térből indul ki. Ezeket a feltételeket kielégítő általános metrika az alábbi:

− c 2 d τ 2 = − c 2 d t 2 + a ( t ) 2 d Σ 2 {\displaystyle -c^{2}\mathrm {d} \tau ^{2}=-c^{2}\mathrm {d} t^{2}+{a(t)}^{2}\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2}}

ahol Σ {\displaystyle \mathbf {\Sigma } } a 3 dimenziós tér általános metrikája, ez lehet, elliptikus, euklideszi, vagy hiperbolikus. d Σ {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } } nem függ t-től, az időtől való függés kizárólag az a(t) függvényben szerepel, melyet szokás "skála faktornak" vagy "skála függvénynek" nevezni.

Polár koordináták esetén a térszerű rész a következő alakú

d Σ 2 = d r 2 1 − k r 2 + r 2 d Ω 2 , ahol  d Ω 2 = d θ 2 + sin 2 ⁡ θ d ϕ 2 . {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2}={\frac {\mathrm {d} r^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}\mathrm {d} \mathbf {\Omega } ^{2},\quad {\text{ahol }}\mathrm {d} \mathbf {\Omega } ^{2}=\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \phi ^{2}.}

hyperbolikus koordináták esetén

d Σ 2 = d r 2 + S k ( r ) 2 d Ω 2 {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2}=\mathrm {d} r^{2}+S_{k}(r)^{2}\,\mathrm {d} \mathbf {\Omega } ^{2}}

ahol

S k ( r ) = { k − 1 sin ⁡ ( r k ) , k > 0 r , k = 0 | k | − 1 sinh ⁡ ( r | k | ) , k < 0. {\displaystyle S_{k}(r)={\begin{cases}{\sqrt {k}}^{\,-1}\sin(r{\sqrt {k}}),&k>0\\r,&k=0\\{\sqrt {|k|}}^{\,-1}\sinh(r{\sqrt {|k|}}),&k<0.\end{cases}}}

itt k egy dimenziotlan szám, amely lehet {−1,0,+1}.

A k = 0 esetben a tér sík és így a 3 dimenziós rész a következő egyszerű alakú lesz

d Σ 2 = d x 2 + d y 2 + d z 2 . {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2}=\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}.}

Ez kiterjeszthető a k ≠ 0 esetre is a következően

x = r cos ⁡ θ {\displaystyle x=r\cos \theta \,} ,
y = r sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ {\displaystyle y=r\sin \theta \cos \phi \,} , és
z = r sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ {\displaystyle z=r\sin \theta \sin \phi \,} ,

ahol r a radiális koordinátának tekinthető.

A megoldás

Bővebben: Friedmann-egyenletek

Az Einstein-egyenletek általános alakja az alábbi

G μ ν + Λ g μ ν = 8 π G c 4 T μ ν {\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}

Ha az energia-impulzus tenzorról (hasonlóan a térhez) feltesszük, hogy homogén és izotrop, akkor a következő ún. Friedmann-egyenleteket kapjuk:

( a ˙ a ) 2 + k c 2 a 2 − Λ c 2 3 = 8 π G 3 ρ {\displaystyle \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}+{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}={\frac {8\pi G}{3}}\rho }
2 a ¨ a + ( a ˙ a ) 2 + k c 2 a 2 − Λ c 2 = − 8 π G c 2 p . {\displaystyle 2{\frac {\ddot {a}}{a}}+\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}+{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}-\Lambda c^{2}=-{\frac {8\pi G}{c^{2}}}p.}

itt k az előző részben tárgyalt dimenziótlan állandó {−1,0,+1}.

Megmutatható, hogy az egyenletek ekvivalensen átalakíthatók az alábbi alakba

ρ ˙ = − 3 a ˙ a ( ρ + p c 2 ) {\displaystyle {\dot {\rho }}=-3{\frac {\dot {a}}{a}}\left(\rho +{\frac {p}{c^{2}}}\right)}
a ¨ a = − 4 π G 3 ( ρ + 3 p c 2 ) + Λ c 2 3 {\displaystyle {\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}}

A kozmológiai konstans

A kozmológiai konstans a következő helyettesítéssel kiküszöbölhető

ρ → ρ + Λ c 2 8 π G {\displaystyle \rho \rightarrow \rho +{\frac {\Lambda c^{2}}{8\pi G}}}
p → p − Λ c 4 8 π G . {\displaystyle p\rightarrow p-{\frac {\Lambda c^{4}}{8\pi G}}.}

Tehát a kozmológiai állandó magyarázható úgy mint egyfajta energia, amelynek negatív a nyomása (de az energia sűrűsége pozitív):

p = − ρ c 2 . {\displaystyle p=-\rho c^{2}.\,}

Az ilyen alakban felírt kozmológiai állandót szokták sötét energiának nevezni.

Ahhoz, hogy a Világegyetem gyorsuló tágulását okozza elég feltenni, hogy

p < − ρ c 2 3 . {\displaystyle p<-{\frac {\rho c^{2}}{3}}.\,}

Newtoni közelítés

A Friedmann egyenletek newtoni közelítésben az alábbiak

− a 3 ρ ˙ = 3 a 2 a ˙ ρ + 3 a 2 p a ˙ c 2 {\displaystyle -a^{3}{\dot {\rho }}=3a^{2}{\dot {a}}\rho +{\frac {3a^{2}p{\dot {a}}}{c^{2}}}\,}
a ˙ 2 2 − G 4 π a 3 3 ρ a = − k c 2 2 . {\displaystyle {\frac {{\dot {a}}^{2}}{2}}-{\frac {G{\frac {4\pi a^{3}}{3}}\rho }{a}}=-{\frac {kc^{2}}{2}}\,.}


A Világegyetem Einstein sugara

A Világegyetem Einstein sugara az a görbületi sugára a térnek amely az Einstein Világa, megoldásban szerepel.

a ˙ = a ¨ = 0 {\displaystyle {\dot {a}}={\ddot {a}}=0}

A Friedmann egyenletek esetén az Einstein sugár R E = c / 4 π G ρ {\displaystyle R_{E}=c/{\sqrt {4\pi G\rho }}} , ahol c {\displaystyle c} a fénysebesség, G {\displaystyle G} a Newton-i gravitációs konstans, és ρ {\displaystyle \rho } a Világegyetem sűrűsége. Az Einstein sugár számértéke 1010 fényév.


További olvasásra

  • Friedman, Alexander (1922), "Über die Krümmung des Raumes", Zeitschrift für Physik A 10: 377–386, ISSN 0939-7922, DOI 10.1007/BF01332580
  • Friedmann, Alexander (1924), "Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krümmung des Raumes", Zeitschrift für Physik A 21: 326–332, ISSN 0939-7922, DOI 10.1007/BF01328280 English trans. in 'General Relativity and Gravitation' 1999 vol.31, 31–
  • d'Inverno, Ray. Introducing Einstein's Relativity. Oxford: Oxford University Press (1992). ISBN 0-19-859686-3 . (See Chapter 23 for a particularly clear and concise introduction to the FLRW models.)
  • Lemaître, Georges (1931), "Expansion of the universe, A homogeneous universe of constant mass and increasing radius accounting for the radial velocity of extra-galactic nebulæ", Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 91: 483–490, <http://adsabs.harvard.edu/abs/1931MNRAS..91..483L> translated from Lemaître, Georges (1927), "Un univers homogène de masse constante et de rayon croissant rendant compte de la vitesse radiale des nébuleuses extra-galactiques", Annales de la Société Scientifique de Bruxelles A47: 49–56, <http://adsabs.harvard.edu/abs/1927ASSB...47...49L>
  • Lemaître, Georges (1933), "l’Univers en expansion", Annales de la Société Scientifique de Bruxelles A53: 51–85
  • Robertson, Howard Percy (1935), "Kinematics and world structure", Astrophysical Journal 82: 284–301, doi:10.1086/143681, <http://adsabs.harvard.edu/abs/1935ApJ....82..284R>
  • Robertson, Howard Percy (1936), "Kinematics and world structure II", Astrophysical Journal 83: 187–201, doi:10.1086/143716, <http://adsabs.harvard.edu/abs?bibcode=1936ApJ....83..187R&>
  • Robertson, Howard Percy (1936), "Kinematics and world structure III", Astrophysical Journal 83: 257–271, doi:10.1086/143726, <http://adsabs.harvard.edu/abs?bibcode=1936ApJ....83..257R&>
  • Walker, Arthur Geoffrey (1937), "On Milne’s theory of world-structure", Proceedings of the London Mathematical Society 2 42: 90–127, DOI 10.1112/plms/s2-42.1.90

További információk

  • Ellis, George F. R., van Elst, Henk: Cosmological models (Cargèse lectures 1998). arXiv.org eprint archive. (Hozzáférés: 2005. július 30.)