Théorème de Pythagore inversé

Le théorème de Pythagore inversé concerne la hauteur DC d'un triangle ABC rectangle en C. Il spécifie que :

${\displaystyle {\frac {1}{CD^{2}}}={\frac {1}{AC^{2}}}+{\frac {1}{BC^{2}}}.}$

Il ne doit pas être confondu avec la réciproque du théorème de Pythagore, qui dit que pour un triangle ABC, si ${\displaystyle AB^{2}=BC^{2}+AC^{2}}$, alors ABC est rectangle en C^[1].

Démonstration

Le théorème se démontre en remarquant d'abord que l'aire S du triangle ABC peut être exprimée de deux façons^[2] :

${\displaystyle S={\frac {AB\times CD}{2}}}$ et ${\displaystyle S={\frac {AC\times BC}{2}}}$ On a donc :

${\displaystyle AB\times CD=AC\times BC}$

D'où ${\displaystyle AB^{2}\times CD^{2}=AC^{2}\times BC^{2}}$

${\displaystyle CD^{2}={\frac {(AC\times BC)^{2}}{AB^{2}}}}$

En utilisant le théorème de Pythagore :

${\displaystyle CD^{2}={\frac {(AC\times BC)^{2}}{AC^{2}+BC^{2}}}}$

d'où :

${\displaystyle {\frac {1}{CD^{2}}}={\frac {AC^{2}+BC^{2}}{(AC\times BC)^{2}}}={\frac {AC^{2}}{(AC\times BC)^{2}}}+{\frac {BC^{2}}{(AC\times BC)^{2}}}={\frac {1}{BC^{2}}}+{\frac {1}{AC^{2}}}}$, cqfd.

Références

• Portail de la géométrie