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Cercle trigonométrique et angles remarquables Cette table de lignes trigonométriques exactes rassemble certaines valeurs des fonctions trigonométriques sinus, cosinus, tangente et cotangente sous forme d'expressions algébriques à l'aide de racines carrées de réels , parfois imbriquées . Ces expressions sont obtenues à partir des valeurs remarquables pour les angles de 30° (dans le triangle équilatéral ) et de 36° (dans le pentagone régulier ) et à l'aide des identités trigonométriques de duplication et d'addition des angles.
Cette table est nécessairement incomplète, dans le sens où il est toujours possible de déduire une expression algébrique pour l'angle moitié ou l'angle double . En outre, de telles expressions sont en théorie calculables pour les angles de tout polygone régulier dont le nombre de côtés est un nombre premier de Fermat[ 1] , or ici seuls les deux premiers ont été exploités : 3, 5.
Tables de valeurs Dans un polygone régulier à n côtés, inscrit dans un cercle de rayon R , l'apothème et le demi-côté valent respectivement R cos(π/n ) et R sin(π/n ) . Ces égalités relient naturellement les lignes trigonométriques des angles π/n radians avec les polygones réguliers à n côtés.
Table de lignes trigonométriques exactes[ 2] pour quelques angles ≤ π 4 {\displaystyle \leq {\frac {\pi }{4}}} angle sinus cosinus tangente cotangente polygone régulier 0 ∘ = 0 {\displaystyle \ \ 0^{\circ }\ \ \ =\ \ 0\ } rad 0 {\displaystyle 0} 1 {\displaystyle 1} 0 {\displaystyle 0} non défini 15 ∘ = π 12 {\displaystyle 15^{\circ }\ \ \ ={\frac {\pi }{12}}} rad 2 − 3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}{2}}} 2 + 3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}} 2 − 3 {\displaystyle 2-{\sqrt {3}}} 2 + 3 {\displaystyle 2+{\sqrt {3}}} dodécagone 18 ∘ = π 10 {\displaystyle 18^{\circ }\ \ \ ={\frac {\pi }{10}}} rad 5 − 1 4 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}} 5 + 5 8 {\displaystyle {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{8}}}} 1 − 2 5 {\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}} 5 + 2 5 {\displaystyle {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}} décagone 22 , 5 ∘ = π 8 {\displaystyle 22,5^{\circ }={\frac {\pi }{8}}\ } rad 2 − 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}} 2 + 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}} 2 − 1 {\displaystyle {\sqrt {2}}-1} 2 + 1 {\displaystyle {\sqrt {2}}+1} octogone 30 ∘ = π 6 {\displaystyle 30^{\circ }\ \ \ ={\frac {\pi }{6}}\ } rad 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}} 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}} 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} hexagone 36 ∘ = π 5 {\displaystyle 36^{\circ }\ \ \ ={\frac {\pi }{5}}\ } rad 5 − 5 8 {\displaystyle {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{8}}}} 5 + 1 4 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}} 5 − 2 5 {\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}} 1 + 2 5 {\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}} pentagone 45 ∘ = π 4 {\displaystyle 45^{\circ }\ \ \ ={\frac {\pi }{4}}\ } rad 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}} 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}} 1 {\displaystyle 1} 1 {\displaystyle 1} carré
Par soustraction ( 18 ∘ − 15 ∘ ) , {\displaystyle (18^{\circ }-15^{\circ }),} on obtient une expression pour les lignes trigonométriques d'un angle de 3 ∘ {\displaystyle 3^{\circ }} c'est-à-dire π 60 {\displaystyle {\frac {\pi }{60}}} rad, puis de tous ses multiples.
Expression des lignes trigonométriques pour les premiers multiples de 3° Angle sinus cosinus tangente cotangente 3° (polygone régulier à 60 côtés ) 2 ( 1 − 3 ) 5 + 5 + 2 ( 5 − 1 ) ( 3 + 1 ) 16 {\displaystyle {\tfrac {2(1-{\sqrt {3}}){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt {3}}+1)}{16}}} 2 ( 1 + 3 ) 5 + 5 + 2 ( 5 − 1 ) ( 3 − 1 ) 16 {\displaystyle {\tfrac {2(1+{\sqrt {3}}){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt {3}}-1)}{16}}} ( ( 2 − 3 ) ( 3 + 5 ) − 2 ) ( 2 − 2 ( 5 − 5 ) ) 4 {\displaystyle {\tfrac {\left((2-{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})-2\right)\left(2-{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}\right)}{4}}} ( ( 2 + 3 ) ( 3 + 5 ) − 2 ) ( 2 + 2 ( 5 − 5 ) ) 4 {\displaystyle {\tfrac {\left((2+{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})-2\right)\left(2+{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}\right)}{4}}} 6° (polygone régulier à 30 côtés ) 6 5 − 5 − ( 5 + 1 ) 8 {\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {6}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}-({\sqrt {5}}+1)}{8}}} 2 5 − 5 + 3 ( 5 + 1 ) 8 {\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {2}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)}{8}}} 2 5 − 5 − 3 ( 5 − 1 ) 2 {\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {2}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)}{2}}} 3 ( 3 + 5 ) + 50 + 22 5 2 {\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {3}}(3+{\sqrt {5}})+{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}}{2}}} 9° (polygone régulier à 20 côtés ) 2 ( 5 + 1 ) − 2 5 − 5 8 {\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)-2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{8}}} 2 ( 5 + 1 ) + 2 5 − 5 8 {\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)+2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{8}}} 5 + 1 − 5 + 2 5 {\displaystyle {\sqrt {5}}+1-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}} 5 + 1 + 5 + 2 5 {\displaystyle {\sqrt {5}}+1+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}} 12° (polygone régulier à 15 côtés ) 2 5 + 5 − 3 ( 5 − 1 ) 8 {\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)}{8}}} 6 5 + 5 + 5 − 1 8 {\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {6}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}-1}{8}}} 3 ( 3 − 5 ) − 50 − 22 5 2 {\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}})-{\sqrt {50-22{\sqrt {5}}}}}{2}}} 3 ( 5 + 1 ) + 2 5 + 5 2 {\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)+{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{2}}} 15° (dodécagone régulier ) 3 − 1 2 2 {\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}} 3 + 1 2 2 {\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {3}}+1}{2{\sqrt {2}}}}} 2 − 3 {\displaystyle 2-{\sqrt {3}}} 2 + 3 {\displaystyle 2+{\sqrt {3}}} 18° (décagone régulier ) 5 − 1 4 {\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{4}}} 5 + 5 8 {\displaystyle {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{8}}}} 1 − 2 5 {\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}} 5 + 2 5 {\displaystyle {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}} 21° 2 ( 3 + 1 ) 5 − 5 − 2 ( 3 − 1 ) ( 1 + 5 ) 16 {\displaystyle {\tfrac {2({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)(1+{\sqrt {5}})}{16}}} 2 ( 3 − 1 ) 5 − 5 + 2 ( 3 + 1 ) ( 1 + 5 ) 16 {\displaystyle {\tfrac {2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)(1+{\sqrt {5}})}{16}}} ( 1 + 2 3 − 5 ) 5 − 2 5 + ( 2 + 3 ) ( 5 − 3 ) + 2 2 {\displaystyle {\tfrac {(1+2{\sqrt {3}}-{\sqrt {5}}){\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}+(2+{\sqrt {3}})({\sqrt {5}}-3)+2}{2}}} ( 2 − ( 2 − 3 ) ( 3 − 5 ) ) ( 2 + 2 ( 5 + 5 ) ) 4 {\displaystyle {\tfrac {\left(2-(2-{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})\right)\left(2+{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\right)}{4}}} 24° 3 ( 5 + 1 ) − 2 5 − 5 8 {\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-{\sqrt {2}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{8}}} 6 5 − 5 + 5 + 1 8 {\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {6}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}+1}{8}}} 50 + 22 5 − 3 ( 3 + 5 ) 2 {\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {3}}(3+{\sqrt {5}})}{2}}} 2 5 − 5 + 3 ( 5 − 1 ) 2 {\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {2}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)}{2}}} 27° 2 5 + 5 − 2 ( 5 − 1 ) 8 {\displaystyle {\tfrac {2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)}{8}}} 2 5 + 5 + 2 ( 5 − 1 ) 8 {\displaystyle {\tfrac {2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)}{8}}} 5 − 1 − 5 − 2 5 {\displaystyle {\sqrt {5}}-1-{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}} 5 − 1 + 5 − 2 5 {\displaystyle {\sqrt {5}}-1+{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}} 30° (hexagone régulier ) 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} 3 2 {\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}} 3 3 {\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{3}}} 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} 33° 2 ( 3 − 1 ) 5 + 5 + 2 ( 3 + 1 ) ( 5 − 1 ) 16 {\displaystyle {\tfrac {2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)({\sqrt {5}}-1)}{16}}} 2 ( 3 + 1 ) 5 + 5 + 2 ( 1 − 3 ) ( 5 − 1 ) 16 {\displaystyle {\tfrac {2({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}(1-{\sqrt {3}})({\sqrt {5}}-1)}{16}}} ( − 15 + 10 3 − 7 5 + 4 15 ) 5 ( 5 − 2 5 ) + 5 ( 3 − 2 ) ( 3 + 5 ) + 10 10 {\displaystyle {\tfrac {(-15+10{\sqrt {3}}-7{\sqrt {5}}+4{\sqrt {15}}){\sqrt {5(5-2{\sqrt {5}})}}+5({\sqrt {3}}-2)(3+{\sqrt {5}})+10}{10}}} ( 2 − ( 2 + 3 ) ( 3 + 5 ) ) ( 2 − 2 5 − 5 ) 4 {\displaystyle {\tfrac {\left(2-(2+{\sqrt {3}})(3+{\sqrt {5}})\right)\left(2-{\sqrt {2}}{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\right)}{4}}} 36° (pentagone régulier ) 5 − 5 8 {\displaystyle {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{8}}}} 5 + 1 4 {\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{4}}} 5 − 2 5 {\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}} 1 + 2 5 {\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}} 39° 2 ( 1 − 3 ) 5 − 5 + 2 ( 1 + 3 ) ( 1 + 5 ) 16 {\displaystyle {\tfrac {2(1-{\sqrt {3}}){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}(1+{\sqrt {3}})(1+{\sqrt {5}})}{16}}} 2 ( 1 + 3 ) 5 − 5 + 2 ( 3 − 1 ) ( 5 + 1 ) 16 {\displaystyle {\tfrac {2(1+{\sqrt {3}}){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {5}}+1)}{16}}} ( 2 ( 5 + 5 ) − 2 ) ( ( 2 − 3 ) ( 5 − 3 ) + 2 ) 4 {\displaystyle {\tfrac {\left({\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}-2\right)\left((2-{\sqrt {3}})({\sqrt {5}}-3)+2\right)}{4}}} ( ( 2 + 3 ) ( 3 − 5 ) − 2 ) ( 2 + 2 5 + 5 ) 4 {\displaystyle {\tfrac {\left((2+{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})-2\right)\left(2+{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)}{4}}} 42° 6 5 + 5 − ( 5 − 1 ) 8 {\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {6}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-({\sqrt {5}}-1)}{8}}} 2 5 + 5 + 3 ( 5 − 1 ) 8 {\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)}{8}}} 3 ( 5 + 1 ) − 2 5 + 5 2 {\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{2}}} 50 − 22 5 + 3 ( 3 + 5 ) 2 {\displaystyle {\tfrac {{\sqrt {50-22{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}(3+{\sqrt {5}})}{2}}} 45° (carré ) 2 2 {\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}} 2 2 {\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}} 1 {\displaystyle 1} 1 {\displaystyle 1}
Il n'existe pas d'expression algébrique des lignes trigonométriques à l'aide de radicaux réels pour l'angle de 1° ni, ce qui est équivalent — par différence (voir infra ) avec celles pour 39° ci-dessus — pour l'angle de 40° , mais il en existe une formulée à l'aide de racines cubiques de nombres complexes . Ce n'est pas utile pratiquement, car pour calculer une racine cubique d'un nombre complexe, il faut calculer le cosinus d'un angle. cos 40 ∘ = cos 2 π 9 = 1 2 ( e 2 i π / 3 3 + e − 2 i π / 3 3 ) = 1 2 ( − 1 + i 3 2 3 + − 1 − i 3 2 3 ) {\displaystyle \cos 40^{\circ }=\cos {\frac {2\pi }{9}}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\operatorname {e} ^{2\mathrm {i} \pi /3}}}+{\sqrt[{3}]{\operatorname {e} ^{-2\mathrm {i} \pi /3}}}\right)={\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {-1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}}\right)} . sin 40 ∘ = cos 50 ∘ = cos 5 π 18 = 1 2 ( e 5 i π / 6 3 + e − 5 i π / 6 3 ) = 1 2 ( − 3 + i 2 3 + − 3 − i 2 3 ) {\displaystyle \sin 40^{\circ }=\cos 50^{\circ }=\cos {\frac {5\pi }{18}}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\operatorname {e} ^{5\mathrm {i} \pi /6}}}+{\sqrt[{3}]{\operatorname {e} ^{-5\mathrm {i} \pi /6}}}\right)={\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\frac {-{\sqrt {3}}+\mathrm {i} }{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {-{\sqrt {3}}-\mathrm {i} }{2}}}\right)} .
Applications Ces constantes peuvent être utilisées pour exprimer le volume du dodécaèdre régulier en fonction de son arête a : V = 5 a 3 cos 36 ∘ tan 2 36 ∘ = a 3 ( 15 + 7 5 ) 4 {\displaystyle V={\frac {5a^{3}\cos {36^{\circ }}}{\tan ^{2}{36^{\circ }}}}={\frac {a^{3}\left(15+7{\sqrt {5}}\right)}{4}}} .
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Construction Lignes élémentaires Représentation géométrique des angles de 0, 30, 45, 60, et 90 degrés. Les lignes trigonométriques pour les angles de 0°, 90°, 45°, 30° et 60° peuvent être calculés dans le cercle trigonométrique à l'aide du théorème de Pythagore .
Moyen mnémotechnique On peut restituer une partie de la table en considérant la suite (√n /2) , pour n allant de 0 à 4 : Angle sinus 0 ∘ = 0 {\displaystyle 0^{\circ }\ =\,\ 0} rad 0 2 = 0 {\displaystyle {\frac {\sqrt {0}}{2}}=0} 30 ∘ = π 6 {\displaystyle 30^{\circ }\ ={\frac {\pi }{6}}} rad 1 2 = 0 , 5 {\displaystyle {\frac {\sqrt {1}}{2}}=0{,}5} 45 ∘ = π 4 {\displaystyle 45^{\circ }\ ={\frac {\pi }{4}}} rad 2 2 ≈ 0,707 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\approx 0{,}707} 60 ∘ = π 3 {\displaystyle 60^{\circ }\ ={\frac {\pi }{3}}} rad 3 2 ≈ 0,866 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}\approx 0{,}866} 90 ∘ = π 2 {\displaystyle 90^{\circ }\ ={\frac {\pi }{2}}} rad 4 2 = 1 {\displaystyle {\frac {\sqrt {4}}{2}}=1}
La table des cosinus est obtenue en inversant celle des sinus.
Triangles fondamentaux Polygone régulier à N sommets et son triangle rectangle fondamental, d'angle au centre π/N . La dérivation des valeurs particulières de sinus, cosinus et tangente est basée sur la constructibilité de certains polygones réguliers . Un N -gone régulier se décompose en 2N triangles rectangles dont les trois sommets sont le centre du polygone, l'un de ses sommets, et le milieu d'une arête adjacente à ce sommet. Les angles d'un tel triangle sont π/N , π/2 – π/N et π/2 .
Les constantes fondamentales sont associées aux polygones réguliers dont le nombre de côtés est un nombre premier de Fermat . Les seuls nombres premiers de Fermat connus sont 3, 5, 17, 257 et 216 + 1 = 65 537.
Addition et différence d'angles Grâce à l'identité de Bézout et aux formules d'addition et de différence , on peut déduire de ces constantes fondamentales celles des angles au centre de polygones réguliers dont le nombre de côtés est un produit de nombres premiers de Fermat distincts, ainsi que des multiples entiers de tels angles. Par exemple,
cos π 15 = cos ( 2 × π 5 − π 3 ) = cos π 3 ( 1 − 2 sin 2 π 5 ) + 2 sin π 3 sin π 5 cos π 5 = 1 2 ( 1 − 5 − 5 4 ) + 3 5 − 5 8 1 + 5 4 = 5 − 1 + 6 5 + 5 8 . {\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {\pi }{15}}&=\cos \left(2\times {\frac {\pi }{5}}-{\frac {\pi }{3}}\right)\\&=\cos {\frac {\pi }{3}}\left(1-2\sin ^{2}{\frac {\pi }{5}}\right)+2\sin {\frac {\pi }{3}}\sin {\frac {\pi }{5}}\cos {\frac {\pi }{5}}\\&={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {5-{\sqrt {5}}}{4}}\right)+{\sqrt {3}}{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{8}}}{\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}\\&={\frac {{\sqrt {5}}-1+{\sqrt {6}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{8}}.\end{aligned}}} Division d'un angle en deux Les formules d'angle moitié permettent d'en déduire une infinité de constantes supplémentaires. Par exemple, à partir de cos(π/2) = 0 , on trouve :
cos π 2 n + 1 = 2 + 2 + … 2 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{2^{n+1}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots {\sqrt {2}}}}}}{2}}} , où le numérateur comporte n signes √ .
Simplification des expressions Outre les simplifications élémentaires usuelles, on peut parfois désimbriquer des racines : pour réduire
a ± b {\displaystyle {\sqrt {a\pm {\sqrt {b}}}}} (avec a et b rationnels, b ≥ 0 et a ≥ √b ), il suffit que le réel
a 2 − b {\displaystyle {\sqrt {a^{2}-b}}} soit rationnel.
Exemples cos π 12 , cos 5 π 12 = 1 ± 3 2 2 = 2 ± 3 2 = 3 / 2 ± 1 / 2 2 = 6 ± 2 4 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{12}},\cos {\frac {5\pi }{12}}={\sqrt {\frac {1\pm {\frac {\sqrt {3}}{2}}}{2}}}={\frac {\sqrt {2\pm {\sqrt {3}}}}{2}}={\frac {{\sqrt {3/2}}\pm {\sqrt {1/2}}}{2}}={\frac {{\sqrt {6}}\pm {\sqrt {2}}}{4}}} . sin π 10 = 1 − 1 + 5 4 2 = 6 − 20 4 = 5 − 1 4 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{10}}={\sqrt {\frac {1-{\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}}{2}}}={\frac {\sqrt {6-{\sqrt {20}}}}{4}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}} . Notes et références (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé
« Exact trigonometric constants » (voir la liste des auteurs) .
↑ Voir par exemple Heptadécagone . ↑ Lorsque √5 apparaît dans une expression, on peut le remplacer par 2φ – 1 , où φ est le nombre d'or . Voir aussi Sur les autres projets Wikimedia :
Valeurs trigonométriques exactes, sur Wikiversity Articles connexes Liens externes (en) Eric W. Weisstein , « Trigonometry Angles », sur MathWorld et les articles liés dans son § « See also: 257-gon, 65537-gon, Constructible Polygon, Pi/5, Pi/6, Pi/7, Pi/8 […] » (en) Regular Polygon, sur mathforum.org (en) Naming Polygons and Polyhedra, sur mathforum.org Une suite de vidéos sur la trigonométrie. La 17e vidéo montre comment obtenir la valeur exacte de sin(3°), de cos(3°) et d'autres angles multiples de 3°. Une suite de vidéos sur la construction à la règle et au compas. La 4e vidéo montre qu'il n'est pas possible d'exprimer la valeur exacte de cos(20°) à l'aide des nombres rationnels, des quatre opérations et de l'extraction de la racine carrée. Portail de la géométrie Portail de l’algèbre