Semi-norme

En mathématiques, une semi-norme est une application d'un espace vectoriel dans l'ensemble des réels positifs. C'est « presque » une norme mais une propriété est manquante : la semi-norme d'un vecteur non nul peut être nulle.

En analyse fonctionnelle, cette situation est relativement courante. L'espace vectoriel est un espace de fonctions d'un espace mesuré à valeurs dans les réels ou complexes. La semi-norme correspond par exemple à l'intégrale de la valeur absolue ou du module de la fonction. Une fonction nulle sur l'espace sauf sur un ensemble négligeable est non nulle mais de semi-norme nulle.

La topologie induite par la semi-norme confère à l'espace une structure d'espace vectoriel topologique, non nécessairement séparé. En quotientant cet espace par un sous-espace bien choisi, on obtient un espace vectoriel normé. Dans la théorie de l'intégrale de Lebesgue, considérer de tels quotients amène à travailler non plus sur des fonctions, mais sur des classes de fonctions, équivalentes donc identifiées si elles ne diffèrent que sur un ensemble négligeable.

Définition et exemples

Définition

Article détaillé : Norme (mathématiques).

Dans cet article, E désigne un espace vectoriel sur un corps commutatif K. En général, K désigne le corps des réels ou des complexes, même si la théorie s'applique dans un contexte plus général.

Définition — Une application ${\mathcal {N}}:E\to \mathbb {R} _{+}$ est une semi-norme si elle est :

absolument homogène : $\forall (\lambda ,x)\in K\times E\quad {\mathcal {N}}(\lambda \cdot x)=|\lambda |{\mathcal {N}}(x)$ ;
sous-additive : $\forall (x,y)\in E^{2}\quad {\mathcal {N}}(x+y)\leq {\mathcal {N}}(x)+{\mathcal {N}}(y)$ .

La semi-norme ${\mathcal {N}}$ est une norme si et seulement si elle vérifie la propriété supplémentaire suivante :

séparation : $\forall x\in E\quad {\mathcal {N}}(x)=0\Rightarrow x=0_{E}$ .

Exemples

Deux configurations introduisent naturellement une semi-norme en analyse fonctionnelle :

Soient $\mu$ une mesure sur un espace mesurable $\Omega$ (par exemple : $\Omega =\mathbb {R}$ muni de la tribu borélienne et $\mu =$ la mesure de Lebesgue), et $p\geq 1$ un réel (le cas le plus simple est $p=1$ ). L'ensemble des fonctions mesurables de Ω dans K dont le module à la puissance p est μ-intégrable est un espace vectoriel noté ℒ^p(Ω, μ). Il est naturellement muni de la semi-norme ${\mathcal {N}}_{p}$ définie par : $\forall f\in {\mathcal {L}}^{p}(\Omega ,\mu )\quad {\mathcal {N}}_{p}(f)={\left[\int _{\Omega }|f|^{p}\mathrm {d} \mu \right]}^{1/p}$ .La propriété de séparation est absente : dès qu'une fonction est nulle sur le complémentaire d'un ensemble μ-négligeable, sa semi-norme est nulle.
Un deuxième exemple est un ingrédient dans la définition de la topologie faible. Soit $\varphi$ un élément du dual E* de E, c'est-à-dire une forme linéaire sur E. L'application $p_{\varphi }$ définie de la manière suivante est une semi-norme : $\forall x\in E\quad p_{\varphi }(x)=|\varphi (x)|$ .Cette semi-norme est nulle sur le noyau de $\varphi$ (qui est un hyperplan si $\varphi \neq 0$ ).

Propriétés

Topologie

À l'instar de la norme, une semi-norme définit une topologie pour laquelle les boules ouvertes de centre un point x forment une base de voisinages de x : un ensemble O est ouvert si, pour chaque point x de O, il existe une boule ouverte non vide de centre x incluse dans O. Cette topologie est séparée si et seulement si la semi-norme vérifie la propriété de séparation, c'est-à-dire si la semi-norme est une norme.

Pour cette topologie, l'addition et la multiplication par un scalaire sont continues : on dit que l'espace vectoriel E, muni de cette topologie, est un espace vectoriel topologique. La semi-norme, elle aussi, est continue. Par ailleurs, les boules sont convexes.

Les démonstrations sont analogues à celles proposées dans l'article « Norme (mathématiques) ».

Noyau

Les vecteurs de semi-norme nulle jouent un rôle particulier, qui justifie la définition suivante :

Définition — L'ensemble des vecteurs de semi-norme nulle s'appelle le noyau de la semi-norme.

Le noyau possède des propriétés à la fois algébriques et topologiques :

Proposition — Le noyau d'une semi-norme est un sous-espace vectoriel fermé. Il est égal à l'adhérence du sous-espace nul.

En effet, un vecteur x est adhérent à $\{0\}$ (le singleton réduit au vecteur nul) si et seulement si toute boule ouverte de centre x et de rayon r > 0 contient ce vecteur nul, ce qui se traduit par : la semi-norme de x est inférieure à tout r > 0, ou encore : x appartient au noyau. Ceci prouve que le noyau est bien l'adhérence du sous-espace nul. C'est donc un sous-espace vectoriel fermé (comme l'est l'adhérence de tout sous-espace vectoriel dans un espace vectoriel topologique).

Convexité

Si le corps de base est ℝ, toute semi-norme est une application sous-linéaire donc convexe.

Cône des semi-normes

La somme de deux semi-normes est une semi-norme. Il en est de même pour le produit d'une semi-norme par un réel positif. Autrement dit :

L'ensemble des semi-normes sur un espace E est un cône convexe pointé de l'espace des applications de E dans ℝ.

Norme et espace quotient

Soit H le sous-espace des vecteurs de semi-norme nulle de E. D'après l'inégalité triangulaire, la semi-norme est constante sur chaque classe de l'espace vectoriel quotient E/H. On peut donc équiper ce quotient d'une norme induite en posant :

Définition — Si H est le noyau d'une semi-norme ${\mathcal {N}}$ sur E, la norme induite ${\mathcal {N}}_{E/H}$ sur le quotient E/H est définie par :

\forall x\in E\quad {\mathcal {N}}_{E/H}({\bar {x}})={\mathcal {N}}(x).

Comme il est plus pratique de travailler sur un espace séparé, cette technique de quotient est largement utilisée, par exemple en analyse fonctionnelle. Reprenons l'exemple 1 ci-dessus. Le noyau de la semi-norme ${\mathcal {N}}_{p}$ est le sous-espace des fonctions sur Ω nulles μ-presque partout. Le quotient de ℒ^p(Ω,μ) par ce noyau est l'espace vectoriel normé (L^p(Ω,μ), ║ ║_p).

Topologie définie par une famille de semi-normes

Famille filtrante de semi-normes

Une famille $(p_{i})_{i\in I}$ de semi-normes sur $E$ est dite filtrante si toute sous-famille finie $(p_{j})_{j\in J}$ est majorée par l'une des semi-normes $p_{i}$ .

Par exemple, la famille de semi-normes $(p_{\varphi })_{\varphi \in E^{*}}$ définie dans l'exemple 2 ci-dessus n'est pas filtrante.

Cependant, pour toute famille $(p_{i})_{i\in I}$ de semi-normes sur $E$ , la famille suivante de semi-normes est filtrante :

(p_{J})_{J{\text{ fini }}\subset I}

, où

p_{J}

est la semi-norme

x\mapsto \max _{j\in J}{p_{j}(x)}

Topologie associée

Soit $(p_{i})_{i\in I}$ une famille filtrante de semi-normes (on peut toujours se ramener au cas filtrant, par la procédure ci-dessus). Alors, les ensembles suivants forment une famille de bases de voisinages définissant une topologie sur $E$ , qui fait de $E$ un espace vectoriel topologique (un tel espace est appelé un espace localement convexe) :

On prend, comme base de voisinages de chaque vecteur $x$ , la famille, indexée par $i\in I$ et $R>0$ , des ensembles (appelés « p-boules ») :

\beta (x,i,R):=\{y\in E\mid p_{i}(y-x)<R\}

Autrement dit : les voisinages de $x$ sont les ensembles contenant au moins une « p-boule » de centre $x$ .

Démonstration

Vérifions que les 5 axiomes des voisinages sont bien satisfaits :

Si $V$ est un voisinage de $x$ et $W\supset V$ alors $W$ est un voisinage de $x$ : par définition.
L'intersection de deux voisinages de $x$ est un voisinage de $x$ : si $\beta (x,i_{1},R_{1})\subset V$ et $\beta (x,i_{2},R_{2})\subset W$ , comme la famille de semi-normes est filtrante, il existe une semi-norme $p_{i}$ de la famille majorant $p_{i_{1}}$ et $p_{i_{2}}$ . Alors $\beta (x,i,\min(R_{1},R_{2}))\subset V\cap W$ .
$E$ est un voisinage de $x$ : immédiat.
Tout voisinage de $x$ contient $x$ : $x\in \beta (x,i,R)$ .
Pour tout voisinage $V$ de $x$ , il existe un voisinage $W$ de $x$ tel que $V$ est un voisinage de chaque point de $W$ : soit $y\in W:=\beta (x,i,R)\subset V$ , il existe $\alpha >0$ tel que $p_{i}(y-x)+\alpha <R$ et alors $\forall z\in E\quad p_{i}(z-y)<\alpha \Rightarrow p(z-x)\leq p(y-x)+p(z-y)<p(y-x)+\alpha <R$ . Ceci qui montre que $\beta (y,i,\alpha )\subset \beta (x,i,R)\subset V$ , qui est donc un voisinage de $y$ .

La topologie que nous venons de définir est compatible avec la structure d'espace vectoriel : même démonstration que pour la topologie associée à une norme.