Repère projectif

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4 points projectifs linéairement indépendants forment un repère projectif du plan projectif

En géométrie projective, un repère projectif d'un espace projectif de dimension n est la donnée ordonnée de n + 2 points, soit un (n + 2)-uplet de points de l'espace, tels que n + 1 points quelconques choisis parmi ces n + 2 points ne soient jamais inclus dans un sous-espace projectif propre de l'espace de départ (ou de façon équivalente dans un hyperplan projectif de l'espace de départ). Ainsi :

un repère projectif d'une droite projective est donné par 3 points distincts de la droite ;
un repère projectif d'un plan projectif est un quadruplet de points du plan, tels que 3 parmi ceux-ci ne sont pas alignés ;
etc.

Les repères projectifs jouent pour les espaces projectifs un rôle analogue à celui des bases pour les espaces vectoriels, et des repères affines pour les espaces affines, c'est-à-dire qu'elle permettent de caractériser les applications associées, en l'occurrence les applications projectives. En dimension finie n il faut :

n vecteurs pour une base d'un espace vectoriel ;
n + 1 points pour un repère affine ;
n + 2 points pour un repère projectif.

Une application projective est définie et entièrement déterminée par les images des points d'un repère projectif. Un repère projectif d'un espace projectif de dimension n sur un corps K permet de faire correspondre à ce dernier l'espace projectif défini sur l'espace vectoriel Kⁿ⁺¹ (par une transformation projective ou homographie) et donc de définir un système de coordonnées homogènes (n + 1 coordonnées) sur l'espace d'origine.

Intuitivement, on veut repérer un point de l'espace projectif en se donnant un point de l'espace vectoriel de dimension $n+1$ associé. On veut donc choisir une base $(e_{1},...,e_{n+1})$ de cet espace, et considérer les points $(p_{1},...,p_{n+1})=(\pi (e_{1}),...,\pi (e_{n+1}))$ comme un repère de l'espace projectif. Ayant les coordonnées $(x_{1},...,x_{n+1})$ dans ce repère, on considèrerait alors le vecteur $x=x_{1}\cdot e_{1}+...+x_{n+1}\cdot e_{n+1}$ qui définit un unique point $\pi (x)$ dans l'espace projectif. L'erreur de l'argument ci-dessus est que lorsque l'on ne connaît que le repère projectif $(p_{1},...,p_{n+1})$ , on ne peut pas retrouver les vecteurs $(e_{1},...,e_{n})$ qui l'avaient défini, mais seulement des vecteurs de la forme ${\tilde {e}}_{1}=\lambda _{1}\cdot e_{1},...,{\tilde {e}}_{n+1}=\lambda _{n+1}\cdot e_{n+1}$ . Si l'on considère le nouveau vecteur ${\tilde {x}}=x_{1}\cdot {\tilde {e}}_{1}+...+x_{n+1}\cdot {\tilde {e}}_{n+1}=x_{1}\lambda _{1}\cdot e_{1}+...+x_{n+1}\lambda _{n+1}\cdot e_{n+1}$ , celui-ci n'a aucune raison d'être colinéaire à $x$ , et donc de donner le même point de l'espace projectif après projection, sauf si tous les $\lambda _{i}$ sont égaux. L'idée est donc alors d'adjoindre aux points $(p_{1},...,p_{n+1})$ une contrainte, qui peut également se voir comme un point de l'espace projectif, obligeant tout choix de vecteurs ${\tilde {e}}_{1},...,{\tilde {e}}_{n+1}$ comme ci-dessus à vérifier $\lambda _{1}=...=\lambda _{n+1}$ . Pour cela, on impose une contrainte sur la somme ${\tilde {e}}_{1}+...+{\tilde {e}}_{n+1}$ qui doit être colinéaire à la somme $e_{1}+...+e_{n+1}$ choisie initialement. Il est alors facile de voir que cela implique la contrainte recherchée. Il suffit donc d'adjoindre aux $p_{i}$ le point $p_{n+2}=\pi (e_{1}+...+e_{n+1})$ , et alors tout choix de ${\tilde {e}}_{1},...,{\tilde {e}}_{n+1}$ vérifiant $\pi ({\tilde {e}}_{1}+...+{\tilde {e}}_{n+1})=p_{n+2}$ permet de retrouver le point de l'espace projectif correspondant aux coordonnées $(x_{1},...,x_{n+1})$ comme indiqué ci-dessus^[1].