Radiale d'une courbe

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En géométrie plane, la radiale d'une courbe Γ, associée à un point O fixe, est le lieu des points P définis par ${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}={\overrightarrow {MC}}=R_{M}{\vec {N}}_{M}}$ où ${\displaystyle {\overrightarrow {MC}}}$ est le vecteur joignant le point courant M de Γ à son centre de courbure C ; autrement dit, c'est le lieu de l'extrémité du vecteur de courbure, ${\displaystyle R_{M}}$ le rayon de courbure, attaché à un point fixe.

Cette notion a été étudiée par Robert Tucker (en) en 1864^[1],[2].

Selon Maurice d'Ocagne, c'est Jules Hoüel qui lui aurait donné le nom de radiale.

Radiale d'une courbe paramétrique

On suppose la courbe suffisamment dérivable et birégulière.

Pour une courbe paramétrée (x(t), y(t)), sa radiale en un point O(x₀, y₀) est la courbe paramétrée par :

${\displaystyle {\begin{cases}X(t)&=x_{0}-{\dfrac {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}{x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)}}y'(t)\\Y(t)&=y_{0}+{\dfrac {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}{x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)}}x'(t)\end{cases}}}$

Propriétés

La radiale d'une courbe algébrique est une courbe algébrique de même degré que sa développée.

On suppose la courbe suffisamment dérivable et birégulière. Si elle est paramétrée par l'abscisse curviligne sous la forme ${\displaystyle {\vec {f}}(s)}$, le centre de courbure s'obtient en posant

${\displaystyle {\vec {g}}(s)={\overrightarrow {O\Omega (s)}}={\vec {f}}(s)+\gamma (s)^{-1}{\vec {N}}(s)}$

où ${\displaystyle \Omega }$ est le centre de courbure, ${\displaystyle \gamma }$ la courbure et ${\displaystyle {\vec {N}}}$ le vecteur normal au point ${\displaystyle {\vec {f}}(s)}$.

Le vecteur dérivé de la radiale est

${\displaystyle {\vec {g'}}(s)=\gamma (s)^{-1}{\vec {N'}}(s)-{\frac {\gamma '(s)}{\gamma (s)^{2}}}{\vec {N}}(s)=-{\vec {T}}(s)-{\frac {\gamma '(s){\vec {N}}(s)}{\gamma (s)^{2}}}}$

en utilisant les formules de Frenet.

Exemples

• 
  Une ellipse, sa développée (en bleu) et sa radiale (en rouge)
• 
  Une cycloïde, sa développée (en bleu) et sa radiale (en rouge)

Applications

Les courbes radiales apparaissent dans la détermination des couples roue-route : en considérant le roulement sans glissement d'une courbe Γ₁ (la roue) sur une courbe Γ₂ (la route), déterminer un point fixe (le moyeu de la roue) par rapport à Γ₁ tel que sa trajectoire soit rectiligne dans le plan.

Un théorème de Amédée Mannheim établit en effet que pour une courbe et un point donnés, la radiale de cette courbe par rapport au point et sa courbe de Mannheim forment un couple roue-route^[3].

Voir aussi

• Développée

Références

• « Radiale d'une courbe », sur Mathcurve
• Maurice d'Ocagne, « Sur la courbe radiale de Houël », Nouvelles annales de mathématiques, vol. 4, n^o 2,‎ 1902, p. 112-114 (lire en ligne)

Liens externes

• « Radiale d'une courbe », sur mathcurve.com

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