Masse fluide en rotation

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Soit un fluide incompressible, autogravitant, en rotation, de masse M, de masse volumique ρ {\displaystyle \rho } . Le problème est de trouver sa forme.

Pour une rotation faible, la solution de Maclaurin (1742) est la bonne : un ellipsoïde de révolution aplati.

Mais Jacobi découvre en 1834 une nouvelle famille de solutions : un ellipsoïde à trois axes différents.

Dès lors, le problème devient l'objet de recherches mathématiques intenses (Meyer, Riemann, Poincaré, Cartan,...) jusqu'à nos jours.

Historiquement, Darwin-fils avait pensé que lors de la formation de la Terre, la "goutte" en rotation rapide avait pu se séparer donnant naissance à la Lune. Ce scénario est écarté aujourd'hui.

La solution de Maclaurin

Soit un ellipsoïde de révolution aplati, d'aplatissement f = (a-b)/a, d'excentricité e.

La rotation est caractérisée par le paramètre m = ω 2 a / ( G M / a 2 ) {\displaystyle \omega ^{2}a/(GM/a^{2})} . Comme le volume est donné, V = 4 π a 2 b 3 {\displaystyle {\frac {4\pi a^{2}b}{3}}} , m est proportionnel à ω 2 / π G ρ {\displaystyle \omega ^{2}/\pi G\rho }

La solution donnée par Maclaurin est :

ω 2 / 2 π G ρ = A r c s i n ( e ) ⋅ ( 1 − e 2 ) 1 / 2 ( 3 − 2 e 2 ) e 3 + 3 − 3 / e 2 {\displaystyle \omega ^{2}/2\pi G\rho =Arcsin(e)\cdot {\frac {(1-e^{2})^{1/2}(3-2e^{2})}{e^{3}}}+3-3/e^{2}} .

A dire vrai, il vaut mieux considérer que le moment cinétique L = 2 / 5. M a 2 ω {\displaystyle 2/5.Ma^{2}\omega } est donné. Alors L =f(e) est monotone.

La solution de Jacobi

Jacobi montrera que si L augmente, l'ellipsoïde de révolution est instable ; il faut lui substituer un ellipsoïde triaxial (a>b>c) , avec c/a = 0.58 , et b/a = 1 au point de bifurcation  : la symétrie de révolution est brisée.

La valeur de e = ( a 2 − c 2 ) / a {\displaystyle {\sqrt {(}}a^{2}-c^{2})/a} correspondante est : 0. 812 670 ...

Pour des valeurs plus importantes de L , b diminue , ainsi que c , pour atteindre les valeurs b/a = 0.43 et c/a = 0.34 .

Au-delà, la solution bifurque à nouveau : solutions "piriformes" de Poincaré , etc.

Voir aussi

Bibliographie

  • Subrahmanyan Chandrasekhar, Ellipsoidal Figures of Equilibrium, Dover, 1987
  • Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, t. 2 : Théorie des champs [détail des éditions], loi de Newton (§ 99)
  • Pierre-Simon de Laplace, Traité de mécanique céleste, t. 1, p. 91-110, Imprimerie de Crapelet, Paris, An VII Texte
  • Henri Poincaré, « Sur l'équilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation », Acta Mathematica, 1885 Texte
  • Henri Poincaré, « Les formes d'équilibre d'une masse fluide en rotation », Revue générale des sciences pures et appliquées, no 23, Texte
  • B. Globa-Mikhaïenko, « Sur quelques nouvelles figures d'équilibre d'une masse fluide en rotation », t. 2, p. 1-78, Journal de mathématiques pures et appliquées, 1916 Texte
  • B. Globa-Mikhaïenko, Thèse : Contribution à l'étude des mouvements d'une masse en fluide en mouvement, Gauthier-Villars, Paris, 1920 Texte
  • Pierre Dive, Rotations internes des astres fluides, Librairie scientifique Albert Blanchard, Paris, 1930 Texte
  • (en) S. Chandrasekhar, « Ellipsoidal figures of equilibrium - an historical account », Comm. Pure Appl. Math., vol. 20,‎ , p. 251-265 (DOI 10.1002/cpa.3160200203, lire en ligne)
  • (en) S. Chandrasekhar, « The equilibrium and the stability of the Dedekind ellipsoids », Astrophys. J., vol. 141,‎ , p. 1043-1054 (lire en ligne)

Articles connexes

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