Fonction totient de Jordan

En théorie des nombres, la k-ième fonction totient de Jordan J_k — nommée d'après le mathématicien Camille Jordan — est la fonction arithmétique qui à tout entier n > 0 associe le nombre de k-uplets d'entiers compris entre 1 et n qui, joints à n, forment un (k + 1)-uplet de nombres premiers entre eux. C'est une généralisation de la fonction φ d'Euler, qui est J₁.

Calcul

La fonction J_k est multiplicative et vaut

${\displaystyle J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}}}\right),}$

où le produit est indexé par tous les diviseurs premiers p de n.

On peut définir plus généralement J_k pour tout réel k non nul et même pour « presque » tout complexe k, par la même formule^[1].

Propriétés

La formule

${\displaystyle \sum _{d|n}J_{k}(d)=n^{k}}$

se réécrit^[2] en termes de la convolution de Dirichlet, de la fonction constante 1(n) = 1 et de la fonction puissance Id_k(n) = n^k

${\displaystyle J_{k}*{\mathbf {1} }={\rm {Id}}_{k}}$

ou encore, par inversion de Möbius

${\displaystyle J_{k}=\mu *{\rm {Id}}_{k}}$

ce qui justifie le qualificatif de « totient » pour J_k.

Une fonction est dite totient si elle est, pour la convolution de Dirichlet, le produit d'une fonction complètement multiplicative et de l'inverse d'une fonction complètement multiplicative^[3] — or Id_k et l'inverse 1 de μ sont complètement multiplicatives.

Cela permet par ailleurs d'étendre la définition de J_k à tout nombre complexe k : par exemple J₀ = δ₁^{[réf. souhaitée]}.

Fonction totient et séries de Dirichlet

Comme la série de Dirichlet génératrice de la fonction de Möbius μ est 1/ζ(s) et celle de Id_k est ζ(s – k), on en déduit celle de J_k :

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {J_{k}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-k)}{\zeta (s)}}.}$

Un ordre moyen de J_k(n) est ${\displaystyle {\frac {n^{k}}{\zeta (k+1)}}.}$

La fonction psi de Dedekind (en) est

${\displaystyle \psi (n)=n\prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right)={\frac {J_{2}(n)}{J_{1}(n)}}.}$

Ses généralisations, les fonctions multiplicatives J_k/J₁ et J_2k/J_k, sont encore à valeurs dans ℕ* car elles coïncident, sur les puissances de nombres premiers, avec des produits de polynômes cyclotomiques.

Formule de Gegenbauer^[4] :

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\delta ^{s}J_{r}(\delta )J_{s}\left({\frac {n}{\delta }}\right)=J_{r+s}(n).}$

Ordres de groupes de matrices

L'ordre du groupe linéaire GL(m, ℤ/nℤ) est^[5]

${\displaystyle |{\rm {GL}}(m,\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{k}(n).}$

Celui du groupe spécial linéaire SL(m, ℤ/nℤ) est

${\displaystyle |{\rm {SL}}(m,\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=2}^{m}J_{k}(n).}$

Celui du groupe symplectique Sp(2m, ℤ/nℤ) est

${\displaystyle |{\rm {Sp}}(2m,\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )|=n^{m^{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{2k}(n).}$

Les deux premières formules ont été découvertes par Jordan.

Exemples

L'OEIS donne des listes explicites pour J₂ ( A007434), J₃ ( A059376), J₄ ( A059377), J₅ ( A059378) et J₆ à J₁₀ ( A069091 à  A069095).

Des quotients par J₁ sont J₂/J₁ ( A001615), J₃/J₁ ( A160889), J₄/J₁ ( A160891), J₅/J₁ ( A160893), J₆/J₁ ( A160895), J₇/J₁ ( A160897), J₈/J₁ ( A160908), J₉/J₁ ( A160953), J₁₀/J₁ ( A160957) et J₁₁/J₁ ( A160960).

Des exemples de quotients J_2k/J_k sont J₄/J₂ ( A065958), J₆/J₃ ( A065959) et J₈/J₄ ( A065960).

Notes et références

• (en) Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers (en) [détail des éditions], vol. I, 1971, Chelsea Publishing (ISBN 978-0-8284-0086-2), p. 147
• (en) M. Ram Murty, Problems in Analytic Number Theory, Springer, coll. « GTM » (n^o 206), 2001, 452 p. (ISBN 978-0-387-95143-0, lire en ligne), p. 11

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Jordan's totient function » (voir la liste des auteurs).

• Arithmétique et théorie des nombres