Facteur direct d'un module

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En pratique : Quelles sources sont attendues ? Comment ajouter mes sources ?

Soit M un A-module. Deux sous-modules N et P sont supplémentaires lorsque M est somme directe de N et P. Ceci équivaut évidemment à :

M = N + P {\displaystyle \quad M=N+P} et N P = { 0 } {\displaystyle \quad N\cap P=\{0\}}

Un sous-module N d'un A-module M est facteur direct s'il possède un supplémentaire.

Propriétés

  • Si N est un facteur direct de M, alors tous ses supplémentaires sont isomorphes au quotient M/N.
  • Soit N un sous-module de M. Si M/N est libre, alors N est facteur direct.
  • Pour que N soit facteur direct de M, il faut et il suffit qu'il existe un endomorphisme p de M (appelé projecteur) vérifiant les deux conditions suivantes :
    • p ( M ) = N {\displaystyle \quad p(M)=N}
    • p 2 = p {\displaystyle \quad p^{2}=p}
  • Soient F et S deux sous-modules d'un A-module M. Si S est simple, alors S F {\displaystyle \quad S\subset F} ou S F = { 0 } {\displaystyle S\cap F=\{0\}} .
  • Pour qu'un A-module soit semi-simple, il faut et il suffit que tous ses sous-modules soient facteurs directs. C'est toujours le cas si A est un corps.

Notes et références

Voir aussi

v · m
Structures
Propriétés arithmétiques
Chaînes d'idéaux
Mesures
Modules
Fonctorialité
Opérations
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