Excursion brownienne

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Dans la théorie des probabilités, une excursion brownienne est un processus stochastique, qui est étroitement liée à un processus de Wiener (ou mouvement brownien). Les réalisations de l'excursion brownienne sont essentiellement des réalisations d'un processus de Wiener spécifique, qui satisfait à certaines conditions. En particulier, une excursion brownienne est un processus de Wiener conditionné à être positif et à prendre la valeur 0 au temps 1. On peut aussi le définir comme un pont brownien conditionné à être positif^[1].

Définition

Une représentation d'une excursion brownienne ${\displaystyle W}$ en termes d'un mouvement brownien W (due à Paul Lévy et notée par Kiyoshi Itō et Henry P. McKean, Jr^[2]) se donne en termes de la dernière fois ${\displaystyle \tau _{-}}$ que W atteint zéro, avant le temps 1 et la première fois ${\displaystyle \tau _{+}}$ que le mouvement brownien ${\displaystyle W}$ atteint zéro, après le temps 1:

${\displaystyle \{e(t):\ {0\leq t\leq 1}\}\ {\stackrel {d}{=}}\ \left\{{\frac {|W((1-t)\tau _{-}+t\tau _{+})|}{\sqrt {\tau _{+}-\tau _{-}}}}:\ 0\leq t\leq 1\right\}.}$

Si ${\displaystyle \tau _{m}}$ est le temps auquel un pont brownien ${\displaystyle W_{0}}$ atteint son minimum sur [0, 1], Vervaat (1979) montre que

${\displaystyle \{e(t):\ {0\leq t\leq 1}\}\ {\stackrel {d}{=}}\ \left\{W_{0}(\tau _{m}+t{\bmod {1}})-W_{0}(\tau _{m}):\ 0\leq t\leq 1\right\}.}$

Notes et références

Bibliographie

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• Durrett, Richard T.; Iglehart, Donald L. (1977). «Functionals of Brownian Meander and Brownian Excursion». The Annals of Probability (em inglês). 5 (1): 130–135. ISSN 0091-1798. doi:10.1214/aop/1176995896.
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• Vervaat, Wim (1979). "A relation between Brownian bridge and Brownian excursion". Annals of Probability. 7: 143–149. JSTOR 2242845. MR 515820. doi:10.1214/aop/1176995155.

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