Cet article court présente un sujet plus développé dans : Ordre total.
En mathématiques, un ensemble totalement ordonné est un ensemble ordonné dans lequel deux éléments quelconques sont toujours comparables.
Définition
Soit
un ensemble muni d'une relation d'ordre
. Rappelons que toute relation d'ordre
vérifie les propriétés suivantes :
- (réflexivité)
; - (transitivité)
; - (antisymétrie)
.
est un ensemble totalement ordonné si, en outre, tous les éléments de
sont comparables pour
:
.
Exemples
- L'ensemble
des parties de
est ordonné par la relation d'inclusion. Cependant,
n'est pas totalement ordonné :
et
ne sont pas comparables au sens de l'inclusion. - L'ensemble
des nombres réels muni de la relation d'ordre usuelle
est totalement ordonné.
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