Sumea joukko

Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.

Sumea joukko on joukko, jossa joukkoon kuuluvilla alkioilla kuulumisen astetta kuvaa kuuluvuusarvo. Sumean joukon matemaattista käsitteen esitti 1965 azerbaidžanilainen Lotfi A. Zadeh (s. 1921). Hän jatkoi työtään tällä saralla esittämällä vielä 1973 sumean logiikan teorian.

Sumean joukon teoria laajentaa klassisen joukko-opin (Cantor) joukon käsitettä. Kun klassisessa joukko-opissa alkio joko kuuluu joukkoon tai on sen ulkopuolella, eli se noudattaa kaksiarvoista logiikkaa (kts. kolmannen poissulkeva sääntö), niin sumeassa joukossa alkion kuuluvuuden vahvuutta kuvattaan reaaliluvulla, joka kuuluu suljettuun väliin [0,1].

Sumeissa joukoissa kysymys on tietoisesti epätarkkarajaisesta joukosta. Esimerkiksi voimme ottaa kirjojen sumean joukon: ”Kirja käsittelee aihetta x” . Tässä x voi olla mikä tahansa aihe rakkaudesta maanjäristykseen tai ahvenista geenimutaatioon. Kirjan kuuluvuusarvo joukossa voidaan määritellä esimerkiksi seuraavasti: kirjan aihetta x käsittelevien sivujen lukumäärä / sivujen kokonaismäärällä.

Sumea joukko on pari (A,m), jossa A on joukko ja m kuvaus: A → [0,1]. Kaikille x, jotka kuuluvat A:han on olemassa m(x), alkion x joukkoon kuulumisen aste. Jos ${\displaystyle A={x_{1},..,x_{n}}}$ niin tämä (A,m) voidaan merkitä: {${\displaystyle m(x_{1})}$ /${\displaystyle x_{1}}$,...,${\displaystyle m(x_{n})}$/${\displaystyle x_{n}}$ }.

Alkio, jonka arvo kuvauksessa m on 0, ei kuulu sumeaan joukkoon, eli on sen ulkopuolella, ja jos kyseinen arvo on 1, kuuluu kyseinen alkio täydellisesti sumeaan joukkoon. Sumean joukkoa {x kuuluu A:han | m(x) > 0} kutsutaan joukon kannaksi (engl. support) ja joukkoa {x kuuluu A:han | m(x) = 1} joukon ytimeksi (engl. kernel).

• Sumean joukon ${\displaystyle (A,m_{A})}$ komplementti

c(A) = 1 − ${\displaystyle m_{A}(x)}$

• Sumeiden joukkojen ${\displaystyle (A,m_{A})}$ ja ${\displaystyle (B,m_{B})}$ leikkaus

(A ∩ B)(x) = min(${\displaystyle m_{A}}$, ${\displaystyle m_{B}}$)

• Sumeiden joukkojen ${\displaystyle (A,m_{A})}$ ja ${\displaystyle (B,m_{B})}$ unioni

(A ∪ B)(x) = max(${\displaystyle m_{A}}$, ${\displaystyle m_{B}}$)

Sumeat joukot ja todennäköisyyksien teoria eivät ole samaa perhettä, vaikka niin virheellisesti voisi päätellä kuvauksen kuvapisteiden joukosta [0,..,1]. Joukkojen sumeudessa sattumalla ei ole mitään osaa, kun taas todennäköisyyslaskennan teoreettinen lähtökohta on ennalta arvaamaton sattuma.

• Sumea logiikka