Otoshajonta

Otoshajonta eli otoskeskihajonta ${\displaystyle s}$ on otosvarianssin ${\displaystyle s^{2}}$ neliöjuuri, missä

${\displaystyle s^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}{n-1}}\,\,\,\,{\ }}$

ja

${\displaystyle {\overline {x}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{n}}\,\,\,\,\,{\ }}$

on tutkittavan muuttujan ${\displaystyle x}$ otoskeskiarvo.

Kun luvut ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ ovat satunnainen otos isommasta joukosta X, ${\displaystyle s}$ on harhaton estimaatti joukon X keskihajonnasta. Intuitiivisesti tämä selittyy sillä, että otoskeskiarvo ${\displaystyle {\overline {x}}}$ poikkeaa joukon X todellisesta keskiarvosta otoksen suuntaan, mikä tuottaisi keskihajonnan (${\displaystyle s^{2}}$ yllä) kaavaan liian pienen osoittajan, mutta yhdellä pienennetty nimittäjä kompensoi tämän harhan. Jos käytettävissä olisi joukon X todellinen keskiarvo, nimittäjässä pitäisi olla n kuten yleensäkin keskihajonnan kaavassa.

Otosvarianssin harhattomuus

Todistus

Tiedetään, että satunnaismuuttujan varianssi ${\displaystyle \operatorname {Var} (x_{i})=\sigma ^{2}=\mathbb {E} [x_{i}^{2}]-(\mathbb {E} [x_{i}])^{2}=}$ ${\displaystyle \mathbb {E} [x_{i}^{2}]-\mu ^{2}\iff \mathbb {E} [x_{i}^{2}]=\sigma ^{2}+\mu ^{2}}$ ja että otoksen keskiarvon varianssi ${\displaystyle \operatorname {Var} ({\bar {x}})={\frac {\sigma ^{2}}{n}}=\mathbb {E} [{\bar {x}}^{2}]-(\mathbb {E} [{\bar {x}}])^{2}=}$ ${\displaystyle \mathbb {E} [{\bar {x}}^{2}]-\mu ^{2}\iff \mathbb {E} [{\bar {x}}^{2}]={\frac {\sigma ^{2}}{n}}+\mu ^{2}}$, missä ${\displaystyle n}$ on otoskoko.

${\displaystyle \mathbb {E} [s^{2}]=\mathbb {E} \left[\sum _{i=i}^{n}{\frac {(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{n-1}}\right]={\frac {1}{n-1}}\mathbb {E} \left[\sum _{i=i}^{n}(x_{i}^{2}-2x_{i}{\bar {x}}+{\bar {x}}^{2})\right]=}$

${\displaystyle {\frac {1}{n-1}}\mathbb {E} \left[\sum _{i=i}^{n}(x_{i}^{2})-\sum _{i=i}^{n}(2x_{i}{\bar {x}})+\sum _{i=i}^{n}({\bar {x}}^{2})\right]=}$

${\displaystyle {\frac {1}{n-1}}\mathbb {E} \left[\sum _{i=i}^{n}(x_{i}^{2})-2{\bar {x}}\sum _{i=i}^{n}(x_{i})+\sum _{i=i}^{n}({\bar {x}}^{2})\right]=}$

${\displaystyle {\frac {1}{n-1}}\mathbb {E} \left[\sum _{i=i}^{n}(x_{i}^{2})-2n{\bar {x}}^{2}+\sum _{i=i}^{n}({\bar {x}}^{2})\right]=}$

${\displaystyle {\frac {1}{n-1}}\left(n\mathbb {E} [x_{i}^{2}]-2n\mathbb {E} [{\bar {x}}^{2}]+n\mathbb {E} [{\bar {x}}^{2}]\right)=}$

${\displaystyle {\frac {1}{n-1}}\left(n\mathbb {E} [x_{i}^{2}]-n\mathbb {E} [{\bar {x}}^{2}]\right)=}$

${\displaystyle {\frac {1}{n-1}}\left(n(\sigma ^{2}+\mu ^{2})-n({\frac {\sigma ^{2}}{n}}+\mu ^{2})\right)=}$

${\displaystyle {\frac {1}{n-1}}\left(n\sigma ^{2}+n\mu ^{2}-\sigma ^{2}-n\mu ^{2})\right)=}$

${\displaystyle {\frac {1}{n-1}}(n-1)\sigma ^{2}=\sigma ^{2}}$

Siis otosvarianssin odotusarvo on sama kuin satunnaismuuttujan varianssi, joten otosvarianssi on harhaton estimaatti.

Katso myös

• Hajontaluku