Michaelis–Menten-kinetiikka

Michaelis–Menten-kinetiikka kuvaa entsymaattisesti katalysoitujen reaktioiden kinetiikkaa, kun reaktiossa on läsnä yksi substraatti. Reaktiossa substraatin konsentraatiota suurennettaessa reaktionopeus kasvaa, kunnes substraatti kompleksoi kaiken entsyymin, minkä seurauksena reaktionopeus vakioituu. Michaelis–Menten-kinetiikkaa kuvaava matemaattinen malli nojautuu ranskalaisen fysikaalisen kemian tutkijan Victor Henrin ensimmäisiin entsyymikineettisiin analyyseihin. Malli on nimetty saksalaisen biokemistin Leonor Michaelisin ja kanadalaisen fyysikon Maud Mentenin mukaan.^[1]

Entsyymireaktioiden kokeellisista tutkimuksista on päätelty reaktion kertaluvun riippuvan substraatin konsentraatiosta ja olevan 1. kertalukua entsyymin suhteen. Reaktiomekanismi sisältää kaksi reaktiovaihetta, joista ensimmäinen on reversiibeli (palautuva) ja toinen palautumaton vaihe.^[2][3][4]

(1)${\displaystyle \qquad {\text{E + S}}\;{\overset {\textstyle k_{1}}{\underset {\textstyle k_{-1}}{\rightleftharpoons }}}\;{\text{ES}}}$

(2)${\displaystyle \qquad {\text{ES}}\;{\overset {\textstyle k_{2}}{\underset {}{\longrightarrow }}}\;{\text{E + P}}}$

Tässä ${\displaystyle {\text{E}}}$ on entsyymi, ${\displaystyle {\text{S}}}$ on substraatti, ${\displaystyle {\text{P}}}$ on lopputuote ja ${\displaystyle {\text{ES}}}$ on reaktiossa muodostuva ${\displaystyle {\text{ES}}}$-kompleksi. Oheisessa kuvassa on todettavissa reaktion lähtöaineiden ja välituotteen väheneminen sekä tuotteen ja entsyymin lisääntyminen reaktioajan kuluessa.

Reversiibelissä reaktiovaiheessa (1) ${\displaystyle k_{1}}$ on etenevän reaktion nopeusvakio ja ${\displaystyle k_{-1}}$ on palautuvan reaktion nopeusvakio. Toisessa reaktiovaiheessa ${\displaystyle k_{2}}$ on entsyymikatalysoidun reaktion nopeusvakio.^A Reaktiomekanismissä muodostuvaan kompleksiin (so. entsyymi-substraattikompleksi) voidaan soveltaa vakiotilaoletusta, jolloin kompleksin muodostumisnopeudelle voidaan kirjoittaa yhtälö:^[5]

(3)${\displaystyle \qquad {\frac {d[ES]}{dt}}\,=\,k_{1}[E][S]\,-\,k_{-1}[ES]-k_{2}[ES]\,=\,0}$

Yhtälössä (3) ${\displaystyle {\text{ES}}}$-kompleksin muodostumisnopeus oletetaan vakioksi, jos substraatin määrä on entsyymiin verrattuna suuri. Entsyymin kokonaiskonsentraatio, ${\displaystyle [E]_{0}}$, koostuu vapaasta entsyymistä ja reaktiossa muodostuvasta ${\displaystyle {\text{ES}}}$-kompleksista: ${\displaystyle [E]_{0}=[E]+[ES]}$. Kun tämä sijoitetaan yhtälöön (3), saadaan ${\displaystyle {\text{ES}}}$-kompleksin konsentraatiolle:

(4)${\displaystyle \qquad [ES]\,=\,{\frac {k_{1}[E]_{0}[S]}{k_{-1}+k_{2}+k_{1}[S]}}}$

Reaktiotuotteen muodostumisnopeudelle voidaan kirjoittaa yhtälö:

(5)${\displaystyle \qquad R\,=\,k_{2}[ES]\,=\,{\frac {k_{2}[E]_{0}[S]}{{\frac {k_{-1}+k_{2}}{k_{1}}}+[S]}}\,=\,{\frac {k_{2}[E]_{0}[S]}{K_{\text{m}}+[S]}}\,=\,{\frac {V_{\text{max}}[S]}{K_{\text{m}}+[S]}}}$

Tässä ${\displaystyle K_{\text{m}}}$ on ${\displaystyle {\text{ES}}}$-kompleksin ns. Michaelis-vakio (yksikkö M = mol dm^-3) ja yhtälö (5) on Michaelis–Menten-yhtälö. Jos ${\displaystyle [S]\ll K_{\text{m}}}$, niin yhtälössä (5) reaktionopeus noudattaa 1. kertaluvun kinetiikkaa substraatin konsentraatiossa. Jos ${\displaystyle [S]\gg K_{\text{m}}}$, niin yhtälö (5) voidaan sieventää muotoon: ${\displaystyle R=k_{2}[E]_{0}=V_{\text{max}}}$. Tällöin yhtälössä (5) reaktionopeus noudattaa 0. kertaluvun kinetiikkaa, koska entsyymin pinta on kyllästynyt substraatista kokonaan. Näissä olosuhteissa saavutetaan suurin mahdollinen reaktionopeus, ${\displaystyle V_{\text{max}}}$. Toisaalta jos ${\displaystyle [S]=K_{\text{m}}}$, niin ${\displaystyle R={\frac {V_{\text{max}}}{2}}}$, kuten on todettavissa viereisestä kuvasta.

Michaelis-vakio on erityisesti entsyymikohtainen ja siitä voidaan päätellä tarvittava substraattikonsentraatio adsorboimaan puolet entsyymin aktiivisesta pinta-alasta.^B

Kinetiikan muuttuminen reaktiovaiheissa (1) ja (2) on matemaattisesti toteen näytettävissä tarkastelemalla yhtälön (5) kinetiikkaa seuraavasti:

(6)${\displaystyle \qquad -{\frac {d[S]}{dt}}\,=\,{\frac {k_{2}[E]_{0}[S]}{K_{\text{m}}+[S]}}}$

Kerrottaessa yhtälön (6) molemmat puolet tekijällä ${\displaystyle {\frac {K_{\text{m}}+[S]}{[S]}}}$ ja sieventämällä saadaan yhtälö

(7)${\displaystyle \qquad -K_{\text{m}}\cdot {\frac {d[S]}{[S]}}-d[S]\,=\,k_{2}[E]_{0}dt}$

Tämä funktioiden lineaarikombinaatio voidaan integroida raja-arvoilla ${\displaystyle [S]_{0}}$, kun ${\displaystyle t=0}$ reaktion alussa, ja ${\displaystyle [S]_{t}}$, kun reaktion aikana ${\displaystyle t=t}$. Tulokseksi saadaan:

(8)${\displaystyle \qquad K_{\text{m}}\ln {\Bigg (}{\frac {[S]_{0}}{[S]_{t}}}{\Bigg )}+{\Big (}[S]_{0}-[S]_{t}{\Big )}\,=\,k_{2}[E]_{0}\,t}$

Yhtälön (8) vasemman puolen ensimmäinen termi noudattaa 1. kertaluvun kinetiikkaa. Yhtälön (8) toinen termi noudattaa 0. kertaluvun kinetiikkaa. Vastaavanlainen kinetiikan muuttuminen on todettavissa Langmuirin adsorptioisotermissä, jossa kaasumolekyylit adsorboituvat kiinteälle pinnalle.

Käytettäessä hyperbolista yhtälöä (5) analyysissä, on siitä muodostettava ensin suoran yhtälö. Ottamalla yhtälöstä (5) käänteisarvot saadaan:

(9)${\displaystyle \qquad {\frac {1}{R}}\,=\,{\frac {K_{\text{m}}}{V_{\text{max}}[S]}}+{\frac {1}{V_{\text{max}}}}}$

Piirrettäessä xy-koordinaatistoon kuvaaja, jossa y-akselina on ${\displaystyle {\frac {1}{R}}}$ ja x-akselina

${\displaystyle {\frac {1}{S}}}$, saadaan kaksoiskäänteiskuvaaja (so. Lineweaver–Burk-kuvaaja)^[6] Kuvaajan kulmakertoimesta ja leikkauspisteistä voidaan analysoida ${\displaystyle K_{\text{m}}}$ ja ${\displaystyle V_{\text{max}}}$ (ks. oheinen kuva). Käytännössä Lineweaver–Burk-kuvaajan mittauspisteet on saatu suurilla substraatin konsentraatioilla, joten kuvaajan suoran kulmakertoimella on suuret virherajat.

Toinen, edellistä tarkempi analyysitapa saadaan kertomalla yhtälö (9) puolittain ${\displaystyle [S]}$:lla:

(10)${\displaystyle \qquad {\frac {[S]}{R}}\,=\,{\frac {K_{\text{m}}}{V_{\text{max}}}}+{\frac {[S]}{V_{\text{max}}}}}$

Tästä suoran yhtälöstä ${\displaystyle f({\frac {[S]}{R}},[S])}$-kuvaajassa (so. käänteiskuvaaja) saadaan kulmakertoimeksi ${\displaystyle {\frac {1}{V_{\text{max}}}}}$ ja leikkauspisteiksi ${\displaystyle {\frac {K_{\text{m}}}{V_{\text{max}}}}}$ ja ${\displaystyle -K_{\text{m}}}$. Tämä on Hannes-Woolf -kuvaaja.^[7]

Kolmas analyysimenetelmä on laventaa yhtälö (5), jolloin saadaan ${\displaystyle R\,K_{\text{m}}+R[S]=V_{\text{max}}[S]}$. Jakamalla tämä puolittain ${\displaystyle [S]}$:llä saadaan yhtälö

(11)${\displaystyle \qquad {\frac {R\,K_{\text{m}}}{[S]}}+R\,=\,V_{\text{max}}}$

Tästä suoran yhtälöstä saadaan ${\displaystyle f(R,{\frac {R}{[S]}})}$-kuvaajassa, ns. Eadie-kuvaajassa, suoran kulmakertoimeksi (kk) ${\displaystyle -K_{\text{m}}}$; leikkauspisteeksi (lp) y-akselilla ${\displaystyle V_{\text{max}}}$ ja leikkauspisteeksi x-akselilla ${\displaystyle {\frac {V_{\text{max}}}{K_{\text{m}}}}}$ (ks. oheinen kuvaaja).^[8]

Tämän kuvaajan etu Lineweaver–Burk-kuvaajaan verrattuna on sen taipumus pienentää kulmakertoimen virhettä levittämällä mittausalue suureksi.

Useat entsyymikatalysoidut reaktiot noudattavat Michaelis–Menten-yhtälöä, joskaan tällöin ei ole kyse yllä mainitusta yksinkertaisesta reaktiomekanismista. Esimerkki tämänlaisesta reaktiosta olisi:

(12)${\displaystyle \qquad {\text{E + S}}\;{\overset {\textstyle k_{1}}{\underset {\textstyle k_{-1}}{\rightleftharpoons }}}\;{\text{ES }}{\overset {\textstyle k_{2}}{\underset {\textstyle -{\text{y}}}{\longrightarrow }}}\;{\text{ES}}^{*}{\overset {\textstyle k_{3}}{\longrightarrow }}\;{\text{E + Z}}}$

Tässä ${\displaystyle {\text{ES}}}$-kompleksista irtoaa jokin ryhmä (y), ja samalla muodostuu toinen lyhytikäinen kompleksi, joka edelleen hajoaa entsyymiksi ja toiseksi tuotteeksi ${\displaystyle {\text{Z}}}$. Jos tähän sovelletaan vakiotilaoletusta, on lopputuotteen muodostumisnopeus seuraava:

(13)${\displaystyle \qquad R\,=\,{\frac {{\frac {k_{2}k_{3}}{k_{2}+k_{3}}}[E]_{0}[S]}{{\Bigg (}{\frac {k_{-1}+k_{2}}{k_{1}}}{\Bigg )}{\Bigg (}{\frac {k_{3}}{k_{2}+k_{3}}}{\Bigg )}+[S]}}}$

Jos ${\displaystyle k_{3}\gg k_{2}}$, niin yhtälö (13) supistuu yhtälöksi (5). Tällöin ${\displaystyle {\text{ES}}^{*}}$-kompleksi on läsnä vain hyvin pieninä konsentraatioina. Koska tämänkaltainen reaktio on mahdollinen, niin usein yhtälö (13) kirjoitetaan yleisesti seuraavasti:

(14)${\displaystyle \qquad R\,=\,{\frac {k_{\text{cat}}[E]_{0}[S]}{K_{\text{m}}+[S]}}}$

Tässä ${\displaystyle k_{\text{cat}}}$ on katalyyttivakio.

^A IUPAC:n mukaan tässä on kyseessä nopeuskerroin, koska reaktiomekanismi edellyttää adsorptiota tapahtuakseen.

^B Heterogeenisessä katalyysireaktiossa katalyyttimolekyylin pinnassa on erilaisia aktiivisia kohtia, joihin substraattimolekyyli voi adsorboitua. Aktiivisten kohtien keskinäinen erilaisuus riippuu katalyyttimolekyylin kiderakenteesta.