Jatkuva funktio

Jatkuvuus on funktioon liittyvä topologinen peruskäsite. Intuitiivisesti funktio on jatkuva, jos sen arvot eivät muutu äkillisesti minkään pisteen ympäristössä. Tällaisen funktion kuvaaja on silloin yhtenäinen eikä katkea missään kohdassa. On kuitenkin tapauksia, jossa funktio on jatkuva vaikka kuvaajan ulkonäkö on poikkeava. Jatkuvuuden tarkempi määrittäminen vaatiikin matemaattisempia käsitteitä. Funktion jatkuvuus voidaan määritellä usealla eri tavalla, riippuen siitä miten yleisellä tasolla funktioita halutaan tarkastella.

Intuitiivisesti funktion ${\textstyle f:A\to B}$ jatkuvuus tietyssä pisteessä ${\textstyle a\in A}$ tarkoittaa sitä, että ${\textstyle f(x)}$ on lähellä arvoa ${\textstyle f(a)}$ aina, kun piste ${\textstyle x\in A}$ on lähellä pistettä ${\textstyle a}$. Tähän intuitioon perustuu nk. jatkuvuuden ${\textstyle \varepsilon \delta }$-määritelmä (kreikk. ''epsilon'' ja ''delta''), joka on seuraava:

Olkoon ${\textstyle I\subset \mathbb {R} }$ väli, ${\textstyle a\in I}$ ja ${\textstyle f:I\to \mathbb {R} }$. Funktio ${\textstyle f}$ on jatkuva pisteessä ${\textstyle a}$, jos kaikilla ${\textstyle \varepsilon >0}$ on olemassa ${\textstyle \delta >0}$ siten, että

${\displaystyle \left|f(x)-f(a)\right|<\varepsilon }$,

kun ${\textstyle x\in I}$ ja ${\textstyle |x-a|<\delta }$.^[1]

${\displaystyle \iff \lim _{x\to a}f(x)=f(a).}$

Luku ${\textstyle \delta >0}$ riippuu tapauskohtaisesti joko ${\textstyle \varepsilon }$:sta, ${\textstyle f}$:stä, ${\textstyle a}$:sta tai kaikista näistä. Luku ${\textstyle \varepsilon >0}$ ei saa riippua funktiosta tai pisteestä, sillä määritelmän ehdon tulee täyttyä kaikilla ${\textstyle \varepsilon >0}$ (siis erityisesti hyvin pienillä ${\textstyle \varepsilon }$:n arvoilla). Käytännössä ${\textstyle \varepsilon \delta }$-määritelmä tarkoittaa sitä, että ${\textstyle \varepsilon }$:n pienuudesta huolimatta jatkuvan funktion ${\textstyle f}$ kuvaaja jää aina suorien ${\textstyle y=f(a)-\varepsilon }$ ja ${\textstyle y=f(a)+\varepsilon }$ väliin pisteen ${\textstyle a}$ lähellä.^[1]

Funktio ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ on jatkuva pisteessä ${\displaystyle a}$, jos ja vain jos sen raja-arvo tässä pisteessä on olemassa ja on yhtä suuri funktion arvon kanssa tässä kohdassa. Jotta raja-arvo olisi olemassa pisteessä ${\displaystyle a}$, on vasemman- ja oikeanpuoleisten raja-arvojen oltava yhtä suuret tässä pisteessä:

${\displaystyle \lim _{x\to \ a-}f(x)=\lim _{x\to \ a+}f(x)=f(a)}$.

Funktio on jatkuva, jos se on jatkuva jokaisessa määrittelyjoukkonsa pisteessä, eli siinä ei ole epäjatkuvuuskohtia. Funktion jatkuvuus on välttämätön, mutta ei riittävä ehto funktion derivoituvuudelle. Toisin sanoen derivoituva funktio on aina jatkuva, mutta jatkuva funktio ei ole aina derivoituva.

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}\left[f(x)-f(a)+f(a)\right]=}$ ${\displaystyle \lim _{x\to a}\left[{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}\cdot (x-a)+f(a)\right]=}$

${\displaystyle \lim _{x\to a}\left[{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}\right]\cdot \lim _{x\to a}(x-a)+\lim _{x\to a}f(a)=}$ ${\displaystyle f'(a)\cdot 0+f(a)=f(a)}$.

${\displaystyle \therefore \lim _{x\to a}f(x)=f(a)}$, joten funktio on jatkuva pisteessä a. ${\displaystyle \square }$

Olkoon ${\displaystyle \epsilon >0}$ ja ${\displaystyle f'(a)=A\in \mathbb {R} }$.

Tällöin ${\displaystyle \exists \delta _{1}>0}$ siten, että ${\displaystyle \left|{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}-A\right|<1}$, kun ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{1}}$.

${\displaystyle \left|{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}\right|=\left|{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}-A+A\right|\leq }$ ${\displaystyle \left|{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}-A\right|+\left|A\right|<1+\left|A\right|}$, kun ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{1}}$.

${\displaystyle \left|f(x)-f(a)\right|=\left|{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}\cdot (x-a)\right|=}$ ${\displaystyle \left|{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}\right|\left|x-a\right|<}$ ${\displaystyle \left(1+\left|A\right|\right)\left|x-a\right|<}$ ${\displaystyle \left(1+\left|A\right|\right)\cdot {\frac {\epsilon }{1+\left|A\right|}}=\epsilon }$, kun ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{1}}$ ja kun ${\displaystyle 0<|x-a|<{\frac {\epsilon }{1+\left|A\right|}}}$.

Valitaan ${\displaystyle \delta =\min \left(\delta _{1},{\frac {\epsilon }{1+\left|A\right|}}\right)}$.

Siis ${\displaystyle \left|f(x)-f(a)\right|<\epsilon }$, kun ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$.

${\displaystyle \therefore \lim _{x\to a}f(x)=f(a)}$, joten ${\displaystyle f}$ on jatkuva ${\displaystyle a}$:ssa. ${\displaystyle \square }$

Jatkuvia funktioita voidaan konstruoida muista jatkuvista funktioista yhteenlaskun, kertolaskun ja tietyissä tapauksissa jakolaskun avulla. Jos ${\textstyle I\subset \mathbb {R} }$ on väli, ${\textstyle a\in I}$ sekä ${\textstyle f:I\to \mathbb {R} }$ ja ${\textstyle g:I\to \mathbb {R} }$ jatkuvia funktioita pisteessä ${\textstyle a}$, niin:^[2]

1. summafunktio ${\textstyle f+g}$ on jatkuva pisteessä ${\textstyle a}$
2. tulofunktio ${\textstyle f\cdot g}$ on jatkuva pisteessä ${\textstyle a}$
3. tulofunktio ${\textstyle \lambda \cdot f}$, missä ${\textstyle \lambda \in \mathbb {R} }$ on vakio, on jatkuva pisteessä ${\textstyle a}$
4. rationaalifunktio ${\textstyle f/g}$ on jatkuva pisteessä ${\textstyle a}$, jos ${\textstyle g(a)\neq 0}$
5. itseisarvofunktio ${\textstyle |f|}$ on jatkuva pisteessä ${\textstyle a}$

• Vakiofunktio ${\textstyle f:I\to \mathbb {R} }$, ${\textstyle f(x)=c}$ on jatkuva koko määrittelyjoukossaan.
• Polynomifunktio ${\textstyle p:I\to \mathbb {R} }$, ${\textstyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$on jatkuva koko määrittelyjoukossaan riippumatta polynomin asteesta ${\textstyle n}$.^[3]
• Funktio ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ on määritelty, kun ${\displaystyle x\neq 0}$. Funktio on jatkuva koko määrittelyjoukossaan.
• Funktio ${\displaystyle f(x)=|x|}$ on kaikkialla jatkuva, mutta se ei ole derivoituva kohdassa ${\displaystyle x=0}$.

Olkoot ${\displaystyle (X,d)}$ ja ${\displaystyle (Y,d')}$ metrisiä avaruuksia. Funktio ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ on jatkuva pisteessä ${\displaystyle x\in X}$ (metriikoiden ${\displaystyle d}$ ja ${\displaystyle d'}$ suhteen), jos jokaista positiivilukua ${\displaystyle \varepsilon }$ kohti on olemassa positiiviluku ${\displaystyle \delta }$ siten, että ${\displaystyle d'(f(x),f(z))<\varepsilon }$ aina kun ${\displaystyle d(x,z)<\delta }$. Muodollisesti ilmaistuna funktio ${\displaystyle f}$ on jatkuva pisteessä ${\displaystyle x}$, jos

${\displaystyle \forall \ \varepsilon >0\ \exists \ \delta >0:\ d(x,z)<\delta \Rightarrow d'(f(x),f(z))<\varepsilon .}$

Funktio on jatkuva, jos se on jatkuva jokaisessa joukon ${\displaystyle X}$ pisteessä. Kun tarkastellaan joukkoja ${\displaystyle X}$ ja ${\displaystyle Y}$ topologisina avaruuksina, joissa topologiat ovat metriikoiden ${\displaystyle d}$ ja ${\displaystyle d'}$ indusoimia, niin yllä esitetyt määritelmät yhtyvät.

Funktio ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$, missä ${\displaystyle X}$ ja ${\displaystyle Y}$ ovat topologisia avaruuksia, on jatkuva pisteessä ${\displaystyle a\in X}$, jos ja vain jos jokaista pisteen ${\displaystyle f(a)\in Y}$ ympäristöä ${\displaystyle V}$ kohti on olemassa pisteen ${\displaystyle a}$ ympäristö ${\displaystyle U}$ siten, että ${\displaystyle f(U)\subset V}$. Funktio ${\displaystyle f}$ on jatkuva funktio, jos se on jatkuva jokaisessa avaruuden ${\displaystyle X}$ pisteessä. Yhtäpitävästi, funktio ${\displaystyle f}$ on jatkuva, jos ja vain jos jokaisen ${\displaystyle Y}$ avoimen joukon ${\displaystyle V}$ alkukuva ${\displaystyle f^{-1}(V)}$ on avoin avaruudessa ${\displaystyle X}$. ^[4]

• Weisstein, Eric W.: Continuous (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
• Weisstein, Eric W.: Continuous Function (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).