Hamiltonin mekaniikka

Hamiltonin mekaniikka on irlantilaisen William Rowan Hamiltonin vuonna 1833 esittämä lähestymistapa klassiseen mekaniikkaan. Se muistuttaa jonkin verran Lagrangen mekaniikkaa ja useimmissa oppikirjoissa Hamiltonin mekaniikan käsittelyyn siirrytäänkin Lagrangen mekaniikan tulosten kautta. Hamiltonin mekaniikka voidaan kuitenkin johtaa myös kokonaan Lagrangen mekaniikasta riippumatta, symplektisten monistojen teorian pohjalta. Tämän vuoksi se muodostaa aidosti erilaisen lähestymistavan.

Hamiltonin mekaniikka on nykyisin mekaniikan perusformalismi käytännössä kaikessa mekaniikkaan liittyvässä tutkimuksessa. Aivan erityisen tehokkaaksi työkaluksi se on osoittautunut kvanttimekaniikassa, jonka matemaattinen kuvaus perustuu käytännössä kokonaan Hamiltonin mekaniikkaan ja Hamiltonin operaattoreihin.

Hamiltonin yhtälöt ja Hamiltonin funktio

Olkoon $q_{i}\,$ tutkittavan systeemin (yleistetyt) paikkakoordinaatit ja ${\dot {q}}_{i}$ vastaavat yleistetyt nopeudet. Nyt systeemiä kuvaa Lagrangen funktio $L$ . Määritellään uusi, hieman nopeutta muistuttava suure, yleistetty liikemäärä

p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}

Yleistetty liikemäärä tunnetaan myös nimillä kanoninen liikemäärä ja konjugoitu liikemäärä. Sanan liikemäärä sijasta käytetään myös usein sanaa impulssi (saks. Impuls, liikemäärä). Kannattaa huomata, että suoraviivaisen liikkeen tapauksessa ${\dot {q}}$ :t ovat nopeuksia ja yleistetty liikemäärä vastaa täsmälleen kappaleen liikemäärää. Pyörimisliikkeen tapauksessa ${\dot {q}}$ :t ovat kulmanopeuksia ja yleistetty liikemäärä vastaa kappaleen pyörimismäärää.

Määritellään nyt uusi funktio

H=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}-L

jota kutsutaan systeemin Hamiltonin funktioksi (engl. Hamiltonian). Tämän funktion avulla saadaan kirjoitettua systeemiä kuvaavat liikeyhtälöt.

{\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}

{\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}

sekä

{\frac {\partial H}{\partial t}}=-{\frac {\partial L}{\partial t}}

Kaksi ensimmäistä yhtälöä ovat systeemin Hamiltonin yhtälöt eli kanoniset yhtälöt. Ne muodostavat jokaista systeemiin kuuluvaa kappaletta kohti 2N ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ryhmää. Tämä ei kuitenkaan yleensä haittaa, sillä 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen on ryhmänäkin huomattavasti helpompaa kuin korkeamman kertaluvun yhtälöt, joiden ratkaisemiseen Newtonin ja Lagrangen lähestymistavat johtavat. Lisäksi osoittautuu, että Hamiltonin yhtälöiden muoto on matemaattiselta kannalta aivan erityisen oivallinen, sillä yhtälöillä on syvällinen yhteys kvanttifysiikkaan.

Viimeinen yhtälö ei ole varsinainen liikeyhtälö, mutta se osoittaa, että $H$ riippuu ajasta vain ja ainoastaan silloin, jos aika esiintyy Hamiltonin funktiossa eksplisiittisesti. Toisin sanoen Hamiltonin funktio on säilyvä suure muutoin paitsi niissä hyvin epätavallisissa poikkeustapauksissa, joissa aika esiintyy funktiossa. Voidaankin osoittaa, että Hamiltonin funktio vastaa systeemin kokonaisenergiaa.

Esimerkki: yksiulotteinen oskillaattori

Tarkastellaan kappaletta, jonka kineettinen energia on

T={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}

ja johon kohdistuu potentiaalienergia

V={\frac {1}{2}}cx^{2}

missä $m$ on kappaleen massa ja $c$ vakio. Systeemiä kuvaava Lagrangen funktio on (ks. artikkeli Lagrangen mekaniikka)

L=T-V={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\frac {1}{2}}cx^{2}

ja koordinaattia $x$ vastaava yleistetty liikemäärä saadaan derivoimalla ${\dot {x}}$ :n suhteen:

p=m{\dot {x}}

(huomaa, että tämä on täsmälleen kappaleen liikemäärä).

Hamiltonin funktion kirjoittamista varten täytyy ratkaista tästä ${\dot {x}}$ liikemäärän $p$ avulla, jolloin saadaan ${\dot {x}}=p/m$ ja sijoitetaan

H={\frac {p}{m}}\cdot p-({\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {1}{2}}cx^{2})={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}cx^{2}

Tämä $H$ on systeemiä kuvaava Hamiltonin funktio, jota derivoimalla voidaan kirjoittaa lopulliset Hamiltonin yhtälöt:

\left\{{\begin{matrix}{\dot {x}}&=&{\frac {p}{m}}\\{\dot {p}}&=&-cx\end{matrix}}\right.

Tässä tapauksessa yhtälöpari ratkeaa helposti analyyttisesti, kun derivoidaan ensimmäinen yhtälö ajan suhteen ja sijoitetaan se jälkimmäiseen. Tulokseksi saadaan liikeyhtälö