Häiriöalttius (matematiikka)

Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan. Tarkennus: Lähteetön

Häiriöalttius numeerisessa analyysissä kertoo, kuinka paljon funktion arvo voi muuttua sen argumentin muuttumiseen nähden. Häiriöalttius siis kertoo, miten herkkä funktion arvo on datan virheille.

Matriisin A häiriöalttius määritellään operaattorinormin avulla:

${\displaystyle \kappa (A)=\left\Vert A^{-1}\right\Vert \cdot \left\Vert A\right\Vert .}$

Tyypillisillä normeilla ${\displaystyle \kappa (A)\geq 1}$. Voidaan osoittaa, että jos ${\displaystyle x}$ ratkaistaan yhtälöstä ${\displaystyle Ax=b}$ virheellisellä datalla ${\displaystyle b+e}$, niin ratkaisun ${\displaystyle x'=A^{-1}(b+e)}$ suhteellinen virhe ${\displaystyle \|x'-x\|/\|x\|}$ jaettuna ${\displaystyle b}$:n suhteellisella virheellä eli

${\displaystyle {\frac {\|x'-x\|/\|x\|}{\left\Vert e\right\Vert /\left\Vert b\right\Vert }}={\frac {\left\Vert A^{-1}e\right\Vert /\left\Vert A^{-1}b\right\Vert }{\left\Vert e\right\Vert /\left\Vert b\right\Vert }}}$

on maksimissaan ${\displaystyle \kappa (A)}$ (kun ${\displaystyle b,e\neq 0}$).