Gradientti

Gradientti on matemaattinen differentiaalioperaattori, joka on määritelty usean muuttujan skalaarifunktioille ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$. Gradientti ilmaisee funktion suurimman muutosnopeuden (gradienttivektorin pituus) ja tämän suurimman muutoksen suunnan. Funktio kasvaa voimakkaimmin gradientin suuntaan ja vähenee voimakkaimmin negatiivisen gradientin suuntaan.^[1]

Karteesisessa koordinaatistossa gradientti on vektori, jonka komponentteina ovat funktion osittaisderivaatat. Esimerkiksi kolmen muuttujan funktion gradientti merkitään ${\displaystyle grad(f)}$ tai symbolin nabla avulla ${\displaystyle \nabla f}$ ja määritellään

${\displaystyle \nabla f(x,y,z)={\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y,z){\vec {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}f(x,y,z){\vec {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}f(x,y,z){\vec {k}}}$,

missä ${\displaystyle {\vec {i}},{\vec {j}}}$ ja ${\displaystyle {\vec {k}}}$ -komponenttien kertoimet ovat funktion osittaisderivaattoja muuttujien ${\displaystyle x,y}$ ja ${\displaystyle z}$ suhteen. Yleisen ${\displaystyle n}$ muuttujan funktion gradientti määritellään

${\displaystyle \nabla f(\mathbf {x} )={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(\mathbf {x} ),&{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}(\mathbf {x} ),&\cdots &,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(\mathbf {x} )\end{bmatrix}}^{T}}$,

missä ${\displaystyle \mathbf {x} }$ on funktion muuttujien muodostama vektori

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1},&x_{2},&\cdots ,&x_{n}\end{bmatrix}}^{T}}$.

Gradienttia voidaan pitää derivaatan yleistyksenä usean muuttujan funktioille. Gradientti on erikoistapaus Jacobin matriisista, joka on määritelty monen muuttujan vektoriarvoisille funktioille ${\displaystyle \mathbf {f} :\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{p}}$.

Määritelmiä ja laskusääntöjä

Differentiaali

Yhden muuttujan tapauksessa funktion differentiaali määriteltiin

${\displaystyle \Delta f(x)=f'(x)\Delta x\;}$,

ja yleisesti funktion differentiaali määritellään gradientin avulla

${\displaystyle \Delta f(\mathbf {x} )=\nabla f\cdot \Delta \mathbf {x} }$,

missä piste kuvaa kahden vektorin pistetuloa.

Suunnattu derivaatta

Gradientin avulla voidaan määrittää helposti myös suunnattu derivaatta: Funktion suunnattu derivaatta vektorin ${\displaystyle {\vec {e}}}$ suuntaan on

${\displaystyle \partial _{\vec {e}}f(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot {\vec {e}}_{0}}$,

missä ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}\;}$ on ${\displaystyle {\vec {e}}\;}$:n suuntainen yksikkövektori (vektori, jonka pituus on yksi). Pistetulo on suurin, kun lasketaan suunnattua derivaattaa gradientin suuntaan ja pienin, kun lasketaan suunnattua derivaattaa negatiivisen gradientin suuntaan.^[2]

Ketjusääntö

Mikäli funktion muuttujat riippuvat esimerkiksi parametrista t, eli

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}(t),&x_{2}(t),&\cdots ,&x_{n}(t)\end{bmatrix}}^{T}}$,

saadaan funktion derivaatta parametrin suhteen gradientin avulla lausekkeesta

${\displaystyle {\frac {df(\mathbf {x} (t))}{dt}}=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {x} '(t)}$,

missä siis

${\displaystyle \mathbf {x} '(t)={\begin{bmatrix}x_{1}'(t),&x_{2}'(t),&\cdots ,&x_{n}'(t)\end{bmatrix}}^{T}}$.

Tämä tunnetaan niin sanottuna ketjusääntönä.

Gradientti käyräviivaisissa koordinaatistoissa

Napakoordinaatistossa annetulle funktiolle gradientti on

${\displaystyle \nabla f(r,\phi )={\vec {e}}_{r}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\vec {e}}_{\phi }{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}}$,

sylinterikoordinaatistossa

${\displaystyle \nabla f(r,\phi ,z)={\vec {e}}_{r}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\vec {e}}_{\phi }{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}+{\vec {e}}_{z}{\frac {\partial f}{\partial z}}}$

sekä pallokoordinaatistossa

${\displaystyle \nabla f(r,\theta ,\phi )={\vec {e}}_{r}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\vec {e}}_{\theta }{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}+{\vec {e}}_{\phi }{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}}$.

Huomaa, että viimeinen laskusääntö on pätevä pallokoordinaatistossa, jossa muunnoskaavat ovat ${\displaystyle {\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \phi \\y=r\sin \theta \sin \phi \\z=r\cos \theta \end{cases}}}$

Katso myös

• Derivaatta
• Roottori
• Divergenssi

Lähteet

Kirjallisuutta

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).

Aiheesta muualla

• Weisstein, Eric W.: Gradient MathWorld. (englanniksi)
• "Gradient 1" (Arkistoitu – Internet Archive) – Khan Academy (englanniksi)