Couette-virtaus

Couette-virtaus on yksi yksinkertaisimmista viskoottisen virtauksen malleista. Couette-virtauksessa fluidi virtaa kahden samansuuntaisen äärettömän levyn välissä. Toinen levyistä pysyy paikoillaan ja toinen liikkuu tangenttinsa suuntaisesti.^[1] Fluidin liike on kaksiulotteista, sen nopeusvektorilla on vain levyjen tangentin suuntainen komponentti.

Fluidi ei liu'u levyssä, eli paikallaan olevan levyn korkeudella fluidikerroksen nopeus on nolla ja liikkuvan levyn korkeudella oleva fluidikerros liikkuu yhtä suurella nopeudelle kuin levy. Couette-virtauksen nopeusprofiili on lineaarinen,^[2] eli fluidin etenemisnopeus on suoraan verrannollinen sen etäisyydestä paikallaan olevaan levyyn.

Kun Couette-virtausta tarkastellaan kaksiulotteisessa koordinaatistossa, jossa fluidin nopeusvektori etenee x-akselin suuntaan ja y-akseli määrää paikan korkeuden, niin Couette-virtauksen Navier-Stokes -yhtälö on muotoa ^[2]

${\displaystyle \rho g_{x}-{\frac {\partial p}{\partial x}}+\mu ({\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}})=\rho (u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}})}$,

missä siis ${\displaystyle \scriptstyle \rho }$ on tiheys, ${\displaystyle \scriptstyle g_{x}}$ putoamiskiihtyvyyden x-komponentti, ${\displaystyle \scriptstyle u}$ x-suuntainen nopeuskomponentti, ${\displaystyle \scriptstyle v}$ y-suuntainen nopeuskomponentti ja ${\displaystyle \scriptstyle \mu }$ viskositeetti. Gravitaatiota ja painetta ei huomioida ja nopeudella on vain x-suuntainen nopeuskomponentti ${\displaystyle \scriptstyle u}$, joka riippuu vain korkeudesta y. Siksi yllä oleva yhtälö supistuu muotoon ^[2]

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0}$.

Yllä olevasta saadaan integroimoilla kahdesti fluidin nopeus muotoon ^[3]

${\displaystyle u(y)=C_{1}\cdot y+C_{2}}$,

missä ${\displaystyle \scriptstyle C_{1}}$ ja ${\displaystyle \scriptstyle C_{2}}$ ovat vakioita.

Koordinaattiakselit on valittu niin, että alemmalla levylla y=0 ja u(y)=0 ja ylemmällä levyllä y=h ja u(y)=V (V on liikkuvan levyn nopeus). Tarkastelemalla alempaa liikkumatonta levyä saadaan laskettua arvo toiselle vakiolle sijoittamalla yllä olevaan nopeuden yhtälöön y=0, u=0: ${\displaystyle \scriptstyle u(0)=0=0+C_{2}~\Rightarrow ~C_{2}=0}$. Sitten tarkastellaan ylempää liikkuvaa levyä sijoittamalla nopeuden yhtälöön y=h, u(y)=V : ${\displaystyle \scriptstyle u(h)=V=C_{1}\cdot h~\Rightarrow ~C_{1}={\frac {V}{h}}}$. Nyt, kun tiedetään vakioiden arvot, saadaan fluidin nopeuden yhtälöksi ^[3]

${\displaystyle u(y)={\frac {V}{h}}y}$.

• Taylor–Couette -virtaus

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Couette-virtaus Wikimedia Commonsissa