Aksiomaattinen joukko-oppi

Aksiomaattinen joukko-oppi on toinen niistä osista, joihin joukko-oppi tavallisesti jaetaan. Toinen osista on naiivi joukko-oppi. Joukko-opin kehitti 1800-luvun lopulla saksalaisen matemaatikko Georg Cantor matematiikan haaraksi. Se on nykyisen matematiikan perustava osa.

Nykyisin eniten tutkittu ja käytetty joukko-opin aksiomaattinen järjestelmä on Zermelo-Fraenkelin aksioomat, lyhenne ZF. Usein aksioomien joukkoon lisätään myös valinta-aksiooma C, jolloin käytetään lyhennettä ZFC. Aksioomia on kymmenen:

1. Ekstensionaalisuusaksiooma: Kaksi joukkoa ovat samat jos ja vain jos niillä on samat alkiot.
   ${\displaystyle \forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow x=y].}$
2. Tyhjän joukon aksiooma: On olemassa alkioton joukko. Merkitsemme tätä tyhjää joukkoa ${\displaystyle \{\}}$.
3. Pariaksiooma: Jos ${\displaystyle x}$ ja ${\displaystyle y}$ ovat joukkoja, niin myös ${\displaystyle \{x,y\}}$ on joukko, joka sisältää vain alkiot ${\displaystyle x}$ ja ${\displaystyle y}$.
   ${\displaystyle \forall x\forall y\exists z(x\in z\land y\in z).}$
4. Yhdisteaksiooma: Jokaista joukkoa ${\displaystyle x}$ kohti on olemassa joukko ${\displaystyle y}$, jonka alkiot ovat samat kuin joukon ${\displaystyle x}$ alkioiden alkiot.
5. Äärettömyysaksiooma: On olemassa sellainen joukko ${\displaystyle x}$, että ${\displaystyle \{\}}$ on ${\displaystyle x}$:n alkio ja aina kun ${\displaystyle y}$ on ${\displaystyle x}$:n alkio, niin on myös unioni ${\displaystyle y\cup \{y\}}$.
6. Erotteluaksiooma (erotusaksiooma, separaatioaksiooma tai osajoukkoaksiooma): Jokaista joukkoa ja jokaista propositiota (ehtoa, relaatiota) ${\displaystyle P(x)}$ kohti on olemassa sellainen alkuperäisen joukon osajoukko, joka sisältää täsmälleen ne joukon ${\displaystyle x}$ alkiot, joille ${\displaystyle P(x)}$ pätee.
7. Korvausaksiooma: Jokaista joukkoa ja kuvausta, joka määritellään formaalisti relaationa ${\displaystyle P(x,y)}$ missä ehdosta ${\displaystyle P(x,y)}$ ja ${\displaystyle P(x,z)}$ seuraa ${\displaystyle y=z}$, kohti on olemassa joukko, joka sisältää täsmälleen alkuperäisen joukon alkioiden kuvat.
8. Potenssijoukkoaksiooma: Jokaisella joukolla on potenssijoukko eli sen kaikkien osajoukkojen joukko. Se on: jokaista joukkoa ${\displaystyle x}$ kohti on olemassa joukko ${\displaystyle y}$, joka sisältää vain kaikki ${\displaystyle x}$:n osajoukot.
9. Säännöllisyysaksiooma: Jokainen epätyhjä joukko ${\displaystyle x}$ sisältää sellaisen alkion ${\displaystyle y}$, että ${\displaystyle x}$ ja ${\displaystyle y}$ ovat erillisiä joukkoja. ${\displaystyle \forall x[\exists a(a\in x)\Rightarrow \exists y(y\in x\land \lnot \exists z(z\in y\land z\in x))].}$
10. Valinta-aksiooma: (Zermelon versio) Jokaista keskenään erillisten ei-tyhjien joukkojen joukkoa ${\displaystyle x}$ kohti on olemassa joukko ${\displaystyle y}$ joka sisältää täsmälleen yhden alkion jokaisesta ${\displaystyle x}$:n alkiosta.

• Valinta-aksiooma

• Lipschutz, Seymour: Set Theory and Related Topics. McGraw-Hill, 1964. ISBN 0-07-037986-6.
• Laakso, Erkki: Joukko-opin kehittäminen Zermelo-Fraenkelin aksioomien pohjalta. Pro gradu -tutkielma: Helsingin yliopisto, matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta, matematiikan laitos, 1975. Finna.fi-tietokanta.